1次方程式

【方程式】

≪方程式と恒等式≫

ここに、2つの等式があります。いずれも、文字\(~x~\)の等式ですが、2つの等式の違いは何でしょう。

① \(2x+5=11\)

② \(2x+5x=7x\)

それぞれの等式に、\(x=1~,~2~,~3~,~4~,\)・・・を順に代入してみましょう。

①は、\(x=3~\)のときだけ成り立ちます。②は、\(x~\)にどんな値を代入しても成り立ちます。

①のように、\(x=~\)がある特定の値のときだけ成り立つ等式を、
\(x~\)についての「方程式」といいます。

②のように、\(x~\)がどんな値のときでも成り立つ等式を、
\(x~\)についての「恒等式(こうとうしき)」といいます。

上の例では、\(x~\)に整数を代入しましたが、恒等式は、\(x~\)が小数や分数、無理数でも成り立ちます。

 

≪方程式を解く≫

\(x~\)についての方程式を成り立たせる\(~x~\)を、その方程式の「解(かい)」といいます。

方程式の解を求めることを「方程式を解く」といいます。

方程式を解くときは、等式の性質を利用して、式を変形して解くことができます。

 

≪等式の性質≫

等式には、次の性質があります。方程式を解くときにはこの性質を利用します。

① 等式の両辺に同じ数(式)を加えても、等式は成り立つ。

\(~A=B~\)ならば\(~A+C=B+C\)

② 等式の両辺から同じ数(式)をひいても、等式は成り立つ。

\(~A=B~\)ならば\(~A-C=B-C\)

③ 等式の両辺に同じ数(式)をかけても、等式は成り立つ。

\(~A=B~\)ならば\(~AC=BC\)

④ 等式の両辺を同じ数(式)でわっても、等式は成り立つ。

\(~A=B~\)ならば\(~\displaystyle\frac{A}{C}=\frac{B}{C}~(C≠0)\)

 

例1

\(x-3=4\) 両辺に\(~3~\)を加える。

\(x=7\)

 

例2

\(x+5=2\) 両辺から\(~5~\)をひく。

\(x=-3\)

 

例3

\(\displaystyle\frac{x}{3}=4\) 両辺に\(~3~\)をかける。

\(x=12\)

 

例4

\(-4x=20\) 両辺を\(~-4~\)でわる。

\(x=-5\)

 

≪移項≫

等式の性質①、②を利用して、等式の左辺にある項を右辺に、右辺にある項を左辺に移すことを「移項(いこう)」といいます。

移項をするときは、プラス(+)、マイナス(-)の符号を変えます

 

例1

\(2x+4=6\)

 左辺の\(~+4~\)を右辺に移項する。
 (両辺から\(~4~\)を引く)

\(2x=6-4\)

\(2x=2\)

\(x=1\)

 

例2

\(3x-6=4x+2\)

 \(-6~\)と\(~+4x~\)を、それぞれ移項する。

\(3x-4x=2+6\)

\(-x=8\)

 両辺を\(~-1~\)でわる。

\(x=-8\)

 

【1次方程式の解き方】

\(x~\)の次数が1次である方程式を、\(x~\)についての「1次方程式」といいます。

1次方程式は、次の手順で解くことができます。

① かっこのある式は、かっこをはずす。

② 移項をして、左辺を\(~x~\)の項、右辺を定数項にする。
  (\(ax=b~\)のかたちにする。

③ 両辺を\(~a~\)でわる。

 

例1

\(4(x-3)=-2x\)

 かっこをはずす。

\(4x-12=-2x\)

 \(-12~\)と\(~-2x~\)をそれぞれ移項する。

\(4x+2x=12\)

\(6x=12\)

\(x=2\)

 

例2

\(3(2-3x)=-4-7(x-2)\)

 かっこをはずす。

\(6-9x=-4-7x+14\)

 移項する。

\(-9x+7x=-4+14-6\)

\(-2x=4\)

\(x=-2\)

 

係数に分数や小数がある場合は、整数に直すと効率よく解ける場合があります。

 

例1

\(\displaystyle\frac{3}{2}x+3=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\)

 両辺に\(~6~\)をかける。

\(9x+18=4x+3\)

 移項する。

\(9x-4x=3-18\)

\(5x=-15\)

\(x=-3\)

 

例2

\(\displaystyle\frac{2x-5}{4}=\frac{1-4x}{3}+3\)

 両辺に\(~12~\)をかける。
(\(~12~\)は分母の最小公倍数)

\(3(2x-5)=4(1-4x)+36\)

 かっこをはずす。

\(6x-15=4-16x+36\)

 移項する。

\(6x+16x=4+36+15\)

\(22x=55\)

\(x=\displaystyle\frac{55}{22}\)

\(x=\displaystyle\frac{5}{2}\)

 

例3

\(2.3(x-2)=1.7+0.2x\)

 両辺に\(~10~\)をかける。

\(23(x-2)=17+2x\)

 かっこをはずす。

\(23x-46=17+2x\)

 移項する。

\(23x-2x=17+46\)

\(21x=63\)

\(x=3\)

 

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