過不足と分配の問題（１次方程式）

方程式を利用して問題を解くときには、問題文の中のどれかひとつの量を\(~x~\)として、他の量を\(~x~\)を使って表し、それらの量の関係を満たす方程式をつくります。

 

過不足や分配の問題では、問題文をよく読んで、それぞれの数量の関係をしっかりと把握することが大切です。

何を\(~x~\)とするかによって、方程式のつくり方が変わってくるので注意をしましょう。

 

例題１ 集会で長いすを用意しました。１脚に\(~4~\)人ずつ座ると\(~25~\)人が座れません。１脚に\(~5~\)人ずつ座ると最後の１脚には\(~4~\)人が座り、長いすは\(~8~\)脚 余ります。 集会に集まった人の人数を求めなさい。

 

考え方

集まった人数を\(~x~\)とするよりも、長いすの数を\(~x~\)とするほうが、方程式がつくりやすくなります。

長いすの数を\(~x~\)として、集まった人数を\(~x~\)を使って表します。

解答

長いすの数を\(~x~\)脚とする。

\(4~\)人ずつ座ると、\(25~\)人座れないので、集まった人数は、

\(4x+25\)（人）･･･①

\(5~\)人ずつ座ると、\(5~\)人の椅子が\(~(x-9)~\)脚、\(4~\)人の椅子が\(~1~\)脚なので、集まった人数は、

\(5(x-9)+4\)（人）･･･②

①と②は等しいので、

\(4x+25=5(x-9)+4\)

\(4x+25=5x-45+4\)

\(-x=-66\)

\(x=66\)

集まった人数は、

\(4×66+25=289\)

［答］\(289~\)人

 

例題２ \(7000~\)円 のお金を、Ａ、Ｂ、Ｃの３人で分けます。ＡはＢより\(~12~\)％多く、ＢはＣより\(~800~\)円多くなるように分けると、３人が受け取る金額はそれぞれいくらになりますか。

 

考え方

3人のうちの誰かの金額を\(~x~\)円として、ほかの2人の金額を\(~x~\)を使って表します。

解答

Ｂの金額を\(~x~\)円とする。

Ａの金額は、Ｂの金額より\(~12~\)％多いので、

\((1+0.12)x=1.12x\)（円）

Ｃの金額は、Ｂの金額より\(~800~\)円少ないので、

\(x-800\)（円）

3人の金額を合わせると\(~7000~\)円になるので、

\(1.12x+x+(x-800)=7000\)

\(3.12x-800=7000\)

\(3.12x=7800\)

\(x=2500\)

Ａは、\(2500×1.12=2800\)

Ｃは、\(2500-800=1700\)

［答］Ａ\(~2800~\)円　Ｂ\(~2500~\)円　Ｃ\(~1700~\)円

 

例題３ Ａさんは、ある品物を \(~8~\)個買うために近くのＭ商店へ行きましたが、持っていた金額では\(~160~\)円足りません。ところが、少し離れたＮ商店では、同じ品物がＭ商店より\(~15~\)％安い値段で売っていたので、\(9~\)個買うことができて\(~22~\)円 余りました。 Ａさんが持っていた金額はいくらでしょう。

 

考え方

Ａさんが持っていた金額を、２通りの式で表します。

解答

Ｍ商店での1個の値段を\(~x~\)円とする。

Ａさんが持っていた金額は、品物\(~8~\)個分より\(~160~\)円少ないので、

\(8x-160~\)（円）･･･①

Ｎ商店での1個の値段は、\((1-0.15)x=0.85x~\)（円）

Ａさんが持っていた金額は、品物\(~9~\)個分より\(~22~\)円多いので、

\(0.85x×9+22=7.65x+22\)（円）･･･②

①と②が等しいので、

\(8x-160=7.65x+22\)

\(0.35x=182\)

\(x=520\)

Ａさんが持っていた金額は、

\(520×8-160=4000\)

［答］\(4000~\)円

 

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