1次方程式の利用方程式と不等式

過不足と分配の問題(1次方程式)

方程式を利用して問題を解くときには、問題文の中のどれかひとつの量を\(~x~\)として、他の量を\(~x~\)を使って表し、それらの量の関係を満たす方程式をつくります。

 

過不足や分配の問題では、問題文をよく読んで、それぞれの数量の関係をしっかりと把握することが大切です。

何を\(~x~\)とするかによって、方程式のつくり方が変わってくるので注意をしましょう。

 

例題1

集会で長いすを用意しました。1脚に\(~4~\)人ずつ座ると\(~25~\)人が座れません。1脚に\(~5~\)人ずつ座ると最後の1脚には\(~4~\)人が座り、長いすは\(~8~\)脚 余ります。

集会に集まった人の人数を求めなさい。

 

考え方

集まった人数を\(~x~\)とするよりも、長いすの数を\(~x~\)とするほうが、方程式がつくりやすくなります。

長いすの数を\(~x~\)として、集まった人数を\(~x~\)を使って表します。

解答

長いすの数を\(~x~\)脚とする。

\(4~\)人ずつ座ると、\(25~\)人座れないので、集まった人数は、

\(4x+25\)(人)・・・①

\(5~\)人ずつ座ると、\(5~\)人の椅子が\(~(x-9)~\)脚、\(4~\)人の椅子が\(~1~\)脚なので、集まった人数は、

\(5(x-9)+4\)(人)・・・②

①と②は等しいので、

\(4x+25=5(x-9)+4\)

\(4x+25=5x-45+4\)

\(-x=-66\)

\(x=66\)

集まった人数は、

\(4×66+25=289\)

[答]\(289~\)人

 

例題2

\(7000~\)円 のお金を、A、B、Cの3人で分けます。AはBより\(~12~\)%多く、BはCより\(~800~\)円多くなるように分けると、3人が受け取る金額はそれぞれいくらになりますか。

 

考え方

3人のうちの誰かの金額を\(~x~\)円として、ほかの2人の金額を\(~x~\)を使って表します。

解答

Bの金額を\(~x~\)円とする。

Aの金額は、Bの金額より\(~12~\)%多いので、

\((1+0.12)x=1.12x\)(円)

Cの金額は、Bの金額より\(~800~\)円少ないので、

\(x-800\)(円)

3人の金額を合わせると\(~7000~\)円になるので、

\(1.12x+x+(x-800)=7000\)

\(3.12x-800=7000\)

\(3.12x=7800\)

\(x=2500\)

Aは、\(2500×1.12=2800\)

Cは、\(2500-800=1700\)

[答]A\(~2800~\)円 B\(~2500~\)円 C\(~1700~\)円

 

例題3

Aさんは、ある品物を \(~8~\)個買うために近くのM商店へ行きましたが、持っていた金額では\(~160~\)円足りません。ところが、少し離れたN商店では、同じ品物がM商店より\(~15~\)%安い値段で売っていたので、\(9~\)個買うことができて\(~22~\)円 余りました。

Aさんが持っていた金額はいくらでしょう。

 

考え方

Aさんが持っていた金額を、2通りの式で表します。

解答

M商店での1個の値段を\(~x~\)円とする。

Aさんが持っていた金額は、品物\(~8~\)個分より\(~160~\)円少ないので、

\(8x-160~\)(円)・・・①

N商店での1個の値段は、\((1-0.15)x=0.85x~\)(円)

Aさんが持っていた金額は、品物\(~9~\)個分より\(~22~\)円多いので、

\(0.85x×9+22=7.65x+22\)(円)・・・②

①と②が等しいので、

\(8x-160=7.65x+22\)

\(0.35x=182\)

\(x=520\)

Aさんが持っていた金額は、

\(520×8-160=4000\)

[答]\(4000~\)円

 

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