整数の問題・その他の問題(1次方程式)

方程式を利用して問題を解くときには、問題文の中のどれかひとつの量を\(~x~\)として、他の量を\(~x~\)を使って表し、それらの量の関係を満たす方程式をつくります。

 

例題1

連続する3つの整数があります。このうちの最小の数を\(~7~\)倍すると、他の2つの数の和の\(~3~\)倍と等しくなります。

3つの数を求めなさい。

 

考え方

3つの数の関係から方程式をつくります。

解答

最小の数を\(~x~\)とすると、他の2つの数は、\(~x+1\)、\(x+2~\)となる。

\(7x=3\{(x+1)+(x+2)\}\)

\(7x=3(2x+3)\)

\(7x=6x+9\)

\(x=9\)

他の2つの数は、\(10\)、\(11\)

[答]\(9\)、\(10\)、\(11\)

 

例題2

\(x~\)についての2つの方程式があります。
\(~~~3(2x+a)+ax=x-5a~~~\)
\(~~~2(x-3)=5x+6~~~\)

この2つの方程式の解が等しいときの定数\(~a~\)の値を求めなさい。

 

考え方

一方の方程式から\(~x~\)を求めて、それをもう一方の方程式に代入します。

解答

\(3(2x+a)+ax=x-5a~\)・・・①

\(2(x-3)=5x+6~\)・・・②

②より、

\(2x-6=5x+6\)

\(-3x=12\)

\(x=-4\)

これを、①に代入する。

\(3\{2×(-4)+a\}+(-4)a=-4-5a\)

\(-24+3a-4a=-4-5a\)

\(4a=20\)

\(a=5\)

[答]\(5~\)

 

例題3

Sさんが1冊の本を読んでいます。

1日めは全体の\(\displaystyle\frac{1}{6}\)、2日めは残りの\(\displaystyle\frac{1}{4}\)を読みました。3日めには\(~43~\)ページ読み、4日めには全体の\(\displaystyle\frac{1}{8}\)を読んだところ、あと\(~53~\)ページ残っていました。

この本は全体で何ページでしょう。

 

考え方

それぞれの日に読んだページ数と全体のページ数との関係を方程式にします。

解答

全体のページ数を\(~x~\)ページとする。

それぞれの日に読んだページ数は次のようになる。

1日め:\(\displaystyle\frac{x}{6}\)(ページ)

2日め:\(\displaystyle\frac{5x}{6}×\frac{1}{4}=\frac{5x}{24}\)(ページ)

3日め:\(43~\)(ページ)

4日め:\(\displaystyle\frac{x}{8}\)(ページ)

残り:\(53~\)(ページ)

\(\displaystyle\frac{x}{6}+\frac{5x}{24}+43+\frac{x}{8}+53=x\)

\(4x+5x+1032+3x+1272=24x\)

\(-12x=-2304\)

\(x=192\)

[答]\(192~\)ページ

 

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