整数の問題・その他の問題（１次方程式）

方程式を利用して問題を解くときには、問題文の中のどれかひとつの量を\(~x~\)として、他の量を\(~x~\)を使って表し、それらの量の関係を満たす方程式をつくります。

例題１

連続する３つの整数があります。このうちの最小の数を\(~7~\)倍すると、他の２つの数の和の\(~3~\)倍と等しくなります。

３つの数を求めなさい。

考え方

３つの数の関係から方程式をつくります。

解答

最小の数を\(~x~\)とすると、他の２つの数は、\(~x+1\)、\(x+2~\)となる。

\(7x=3\{(x+1)+(x+2)\}\)

\(7x=3(2x+3)\)

\(7x=6x+9\)

\(x=9\)

他の２つの数は、\(10\)、\(11\)

［答］\(9\)、\(10\)、\(11\)

例題２

\(x~\)についての２つの方程式があります。
\(~~~3(2x+a)+ax=x-5a~~~\)
\(~~~2(x-3)=5x+6~~~\)

この2つの方程式の解が等しいときの定数\(~a~\)の値を求めなさい。

考え方

一方の方程式から\(~x~\)を求めて、それをもう一方の方程式に代入します。

解答

\(3(2x+a)+ax=x-5a~\)･･･①

\(2(x-3)=5x+6~\)･･･②

②より、

\(2x-6=5x+6\)

\(-3x=12\)

\(x=-4\)

これを、①に代入する。

\(3\{2×(-4)+a\}+(-4)a=-4-5a\)

\(-24+3a-4a=-4-5a\)

\(4a=20\)

\(a=5\)

［答］\(5~\)

例題３

Ｓさんが１冊の本を読んでいます。

１日めは全体の\(\displaystyle\frac{1}{6}\)、２日めは残りの\(\displaystyle\frac{1}{4}\)を読みました。３日めには\(~43~\)ページ読み、４日めには全体の\(\displaystyle\frac{1}{8}\)を読んだところ、あと\(~53~\)ページ残っていました。

この本は全体で何ページでしょう。