連立方程式

【連立方程式とは】

2つ以上の方程式を組み合わせたものを「連立方程式」といいます。

このうち、2つの文字を含む1次方程式を組み合わせたものを「連立2元1次方程式」といいます。

連立2元1次方程式の例

\(~~~\begin{cases}
x+2y=10&・・・①\\
3x-y=9&・・・②
\end{cases}\)

①の方程式を成り立たせる\(~x~\)と\(~y~\)の組は無数にあります。
\((x,y)=(2,4)~,~(4,3)~,~(6,2)~,~(-8,9)~,~(5,\displaystyle\frac{5}{2})~\)など。

同じように、②の方程式を成り立たせる\(~x~\)と\(~y~\)の組も無数にあります。
\((x,y)=(3,0)~,~(4,3)~,~(5,6)~,~(-1,12)~,~(4.2~,~3.6)~\)など。

これらの組のうち、①と②を同時に成り立たせるものを「連立方程式の解」といいます。

\(x=4\)、\(y=3~\)は、①と②を同時に成り立たせるので、この連立方程式の解です。

 

【連立方程式の解き方】

連立方程式を解くには、2つの文字のうち、どちらか一方の文字を「消去」して、1つの文字の方程式をつくります。

文字を消去するのには、いくつかの方法があります。

 

≪代入法≫

代入法」による解き方

(1) どちらか一方の方程式を変形して、\(y=・・・\)(または、\(x=・・・\))のかたちにする。

(2) それを、他方の方程式に代入して、\(x\)(または、\(y~\))だけの方程式にする。(\(y\)(または、\(x~\))の消去

(3) その方程式を解いて、\(x\)(または、\(y~\))の値を求める。

(4) その値を、(1) の方程式に代入して、\(y\)(または、\(x~\))だけの方程式にする。

(5) その方程式を解いて、\(y\)(または、\(x~\))の値を求める。

 

例題1

\(\begin{cases}
x+2y=10&・・・①\\
3x-y=9&・・・②
\end{cases}\)

②より、

\(y=3x-9\) ・・・②’

これを①に代入する。

\(x+2(3x-9)=10\)

\(x+6x-18=10\)

\(7x=28\)

\(x=4\)

これを、②’に代入する。

\(y=3×4-9\)

\(y=3\)

[答]\(\begin{cases}
x=4\\
y=3
\end{cases}\)

 

例2

\(\begin{cases}
x+y=5&・・・①\\
3x-2y=20&・・・②
\end{cases}\)

①より、

\(y=5-x\) ・・・①’

これを②に代入する。

\(3x-2(5-x)=20\)

\(3x-10+2x=20\)

\(5x=30\)

\(x=6\)

これを、①’に代入する。

\(y=5-6\)

\(y=-1\)

[答]\(\begin{cases}
x=6\\
y=-1
\end{cases}\)

 

≪加減法≫

加減法」による解き方

(1) \(y\)(または、\(x~\))の係数が同じになるように、それぞれの方程式の両辺に適当な数をかける。

(2) それらの方程式を加えて(または、一方から他方を引いて)、\(x\)(または、\(y~\))だけの方程式にする。(\(y\)(または、\(x~\))の消去

(3) その方程式を解いて、\(x\)(または、\(y~\))の値を求める。

(4) その値を、もとのどちらかの方程式に代入して、\(y\)(または、\(x~\))だけの方程式にする。

(5) その方程式を解いて、\(y\)(または、\(x~\))の値を求める。

 

例1

\(\begin{cases}
x+2y=10&・・・①\\
3x-y=9&・・・②
\end{cases}\)

(\(y~\)の係数をそろえるために②の両辺に\(~2~\)をかける)

②\(×2\)

\(6x-2y=18\) ・・・②’

(\(y~\)を消去するために、①と②’を加える。)

①+②

\((x+2y)+(6x-2y)=10+18\)

\(7x=28\)

\(x=4\)

これを、②に代入する。

\(3×4-y=9\)

\(y=3\)

[答]\(\begin{cases}
x=4\\
y=3
\end{cases}\)

 

例2

\(\begin{cases}
5x+2y=4&・・・①\\
2x+3y=-5&・・・②
\end{cases}\)

①\(×3\)

\(15x+6y=12\) ・・・①’

②\(×2\)

\(4x+6y=-10\) ・・・②’

①’-②’

\(11x=22\)

\(x=2\)

これを、①に代入する。

\(5×2+2y=4\)

\(2y=-6\)

\(y=-3\)

[答]\(\begin{cases}
x=2\\
y=3
\end{cases}\)

 

≪いろいろな連立方程式≫

① 係数が分数である連立方程式

係数に分数が含まれる場合は、両辺を何倍かして、係数を整数にすると解きやすくなります。

\(\begin{cases}
\displaystyle\frac{2}{3}x-\frac{y}{4}=\frac{5}{2}&・・・①\\
\displaystyle\frac{x-1}{2}+\frac{y+5}{3}=2&・・・②
\end{cases}\)

①\(×12\)

\(8x-3y=30\) ・・・③

②\(×6\)

\(3(x-1)+2(y+5)=12\)

\(3x-3+2y+10=12\)

\(3x+2y=5\) ・・・④

③\(×2+\)④\(×3\)

\(25x=75\)

\(x=3\)

これを、④に代入する。

\(9+2y=5\)

\(2y=-4\)

\(y=-2\)

[答]\(\begin{cases}
x=3\\
y=-2
\end{cases}\)

 

② A=B=C のかたちの連立方程式

3つの式の中から2つを組み合わせて、2つの方程式をつくります。

\(x-2y-3=2x+y+4=3x+2y+5\)

次のように組み合わせる。

\(\begin{cases}
x-2y-3=2x+y+4&・・・①\\
x-2y-3=3x+2y+5&・・・②
\end{cases}\)

①より

\(x+3y=-7\) ・・・③

②より

\(2x+4y=-8\) ・・・④

③\(×2-\)④

\(2y=-6\)

\(y=-3\)

これを、③に代入する。

\(x-9=-7\)

\(x=2\)

[答]\(\begin{cases}
x=2\\
y=-7
\end{cases}\)

 

③ 分母に\(~x~\)、\(y~\)がある方程式

\(\displaystyle\frac{1}{x}\)、\(\displaystyle\frac{1}{y}~\)を他の文字に置きかえると、計算しやすくなります。

\(\begin{cases}
\displaystyle\frac{4}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}&・・・①\\\\
\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=-\frac{1}{4}&・・・②
\end{cases}\)

\(\displaystyle\frac{1}{x}=X\)、\(\displaystyle\frac{1}{y}=Y~\)とすると、

①は、

\(4X-Y=\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・①’

②は、

\(X+2Y=-\displaystyle\frac{1}{4}\) ・・・②’

となる。

①’\(×2+\)②’

\(9X=\displaystyle\frac{3}{4}\)

\(X=\displaystyle\frac{1}{12}\)

これを、②’に代入する。

\(\displaystyle\frac{1}{12}+2Y=-\frac{1}{4}\)

\(2Y=-\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(Y=-\displaystyle\frac{1}{6}\)

\(x=\displaystyle\frac{1}{X}\)、\(y=\displaystyle\frac{1}{Y}~\)だから、

\(x=12\)、\(y=-6\)

[答]\(\begin{cases}
x=12\\
y=-6
\end{cases}\)

 

④ 連立3元1次方程式

3つの文字を含む1次方程式を組み合わせたものを「連立3元1次方程式」といいます。

連立3元1次方程式で、解がただ1つに決まるためには、方程式が3つ必要です。

連立3元1次方程式では、まず、1つの文字を消去し、連立2元1次方程式にして解を求めます。

\(\begin{cases}
2x+y-3z=8&・・・①\\
-x-2y+2z=1&・・・②\\
3x-y+z=11&・・・③
\end{cases}\)

まず、\(y~\)を消去する。

①\(×2+\)②

\(3x-4z=17\) ・・・④

①+③

\(5x-2z=19\) ・・・⑤

④-⑤\(×2\)

\(-7x=-21\)

\(x=3\)

これを、⑤に代入する。

\(15-2z=19\)

\(-2z=4\)

\(z=-2\)

求めた\(~x\)、\(z~\)の値を①に代入する。

\(6+y+6=8\)

\(y=-4\)

[答]\(\begin{cases}
x=3\\
y=-4\\
z=-2
\end{cases}\)

 

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