連立方程式の利用

食塩水の濃度の問題(連立方程式)

問題文の中に、求める数が2つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、2つの方程式をつくります。

 

食塩水と濃度(濃さ)の関係は次のようになります。

[食塩水の重さ]=[食塩の重さ]+[水の重さ]

[食塩水の濃度](%)=\(\displaystyle\frac{[食塩の重さ]~~~~~~}{[食塩水の重さ]~~~~~~~}×100\)

[食塩の重さ]=[食塩水の重さ]×[濃度]

 

例題1

\(5\)%の食塩水と\(~20\)%の食塩水とがあります。これらを混ぜ合わせて、\(15\)%の食塩水を\(~900\)gつくるには、それぞれの食塩水を何g混ぜればよいでしょうか。

 

考え方

食塩水の重さと、食塩の重さについて、それぞれ方程式をつくります。

解答

\(5\)%の食塩水を\(~x\)g、\(20\)%の食塩水を\(~y\)gとすると、食塩水の重さは、

\(x+y=900\) ・・・①

\(15\)%の食塩水\(~900\)gに含まれる食塩の重さは、

\(900×0.15=135\)(g)

食塩の重さは、

\(0.05x+0.2y=135\) ・・・②

②×\(5\)

\(0.25x+y=675\) ・・・②’

①-②’

\(0.75x=225\)

\(x=300\)

これを、①に代入する。

\(300+y=900\)

\(y=600\)

[答]\(5\)%の食塩水\(~300\)g、\(20\)%の食塩水\(~600\)g

 

例題2

濃度が異なる2つの食塩水AとBがあります。

A\(50\)gとB\(75\)gをよく混ぜてから蒸発させると、\(13\)gの食塩が残りました。また、A\(75\)gとB\(100\)gをよく混ぜてから蒸発させると、\(18\)gの食塩が残りました。

食塩水A、Bのそれぞれの濃度を求めなさい。

 

考え方

2とおりの混ぜかたで、食塩の重さの関係を方程式にします。

解答

食塩水A、B、それぞれの濃度を\(~x~\)%、\(y~\)%とする。

1回目の食塩の重さは、

\(\displaystyle50×\frac{x}{100}+75×\frac{y}{100}=13\)

\(\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=13\)

\(2x+3y=52\) ・・・①

2回目の食塩の重さは、

\(\displaystyle75×\frac{x}{100}+100×\frac{y}{100}=18\)

\(\displaystyle\frac{3}{4}x+y=18\)

\(3x+4y=72\) ・・・②

①\(×3\)

\(6x+9y=156\) ・・・①’

②\(×2\)

\(6x+8y=144\) ・・・②’

①’-②’

\(y=12\)

これを、①に代入する。

\(2x+36=52\)

\(2x=16\)

\(x=8\)

[答]A\(~8\)%、B\(~12\)%

 

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