食塩水の濃度の問題（連立方程式）

問題文の中に、求める数が２つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、２つの方程式をつくります。

 

食塩水と濃度（濃さ）の関係は次のようになります。

[食塩水の重さ]=[食塩の重さ]+[水の重さ] [食塩水の濃度](%)=\(\displaystyle\frac{[食塩の重さ]~~~~~~}{[食塩水の重さ]~~~~~~~}×100\) [食塩の重さ]＝[食塩水の重さ]×[濃度]

 

例題１ \(5\)％の食塩水と\(~20\)％の食塩水とがあります。これらを混ぜ合わせて、\(15\)％の食塩水を\(~900\)ｇつくるには、それぞれの食塩水を何ｇ混ぜればよいでしょうか。

 

考え方

食塩水の重さと、食塩の重さについて、それぞれ方程式をつくります。

解答

\(5\)％の食塩水を\(~x\)ｇ、\(20\)％の食塩水を\(~y\)ｇとすると、食塩水の重さは、

\(x+y=900\)　･･･①

\(15\)％の食塩水\(~900\)ｇに含まれる食塩の重さは、

\(900×0.15=135\)（ｇ）

食塩の重さは、

\(0.05x+0.2y=135\)　･･･②

②×\(5\)

\(0.25x+y=675\)　･･･②’

①－②’

\(0.75x=225\)

\(x=300\)

これを、①に代入する。

\(300+y=900\)

\(y=600\)

［答］\(5\)％の食塩水\(~300\)ｇ、\(20\)％の食塩水\(~600\)ｇ

 

例題２ 濃度が異なる２つの食塩水ＡとＢがあります。 Ａ\(50\)ｇとＢ\(75\)ｇをよく混ぜてから蒸発させると、\(13\)ｇの食塩が残りました。また、Ａ\(75\)ｇとＢ\(100\)ｇをよく混ぜてから蒸発させると、\(18\)ｇの食塩が残りました。 食塩水Ａ、Ｂのそれぞれの濃度を求めなさい。

 

考え方

２とおりの混ぜかたで、食塩の重さの関係を方程式にします。

解答

食塩水Ａ、Ｂ、それぞれの濃度を\(~x~\)％、\(y~\)％とする。

１回目の食塩の重さは、

\(\displaystyle50×\frac{x}{100}+75×\frac{y}{100}=13\)

\(\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=13\)

\(2x+3y=52\)　･･･①

２回目の食塩の重さは、

\(\displaystyle75×\frac{x}{100}+100×\frac{y}{100}=18\)

\(\displaystyle\frac{3}{4}x+y=18\)

\(3x+4y=72\)　･･･②

①\(×3\)

\(6x+9y=156\)　･･･①’

②\(×2\)

\(6x+8y=144\)　･･･②’

①’－②’

\(y=12\)

これを、①に代入する。

\(2x+36=52\)

\(2x=16\)

\(x=8\)

［答］Ａ\(~8\)％、Ｂ\(~12\)％

 

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