連立方程式の利用

定価・原価・利益の問題(連立方程式)

問題文の中に、求める数が2つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、2つの方程式をつくります。

 

商品を売るときには、原価(仕入れ値)にいくらかの利益を見込んで定価をつけます。これらの値段の関係は次のようになります。

原価・・・小売店が卸売(おろしうり)業者から商品を買い入れた値段。仕入れ値ともいう。

定価・・・原価にいくらかの利益を見込んでつけた値段

売価・・・実際に商品を売った値段。定価と同じときもあるが、値引きをすると定価より安い値段になる。

利益(実際の利益)・・・売価と原価の差額

 [定価]=[原価]+[利益(見込みの利益)]

 [利益(実際の利益)]=[売価]-[原価]

 

例題1

ある商店で、A、B2つの商品を合計\(~10,000~\)円で仕入れて、どちらも\(~3~\)割の利益を見込んで定価をつけました。

ところが、売れないので、Aを\(~20~\)%引き、Bを\(~15~\)%引きで売ったところ、利益が合わせて\(~530~\)円になりました。

A、Bの原価を求めなさい。

 

考え方

原価と売価について、それぞれ方程式をつくります。

解答

Aの原価を\(~x~\)円、Bの原価を\(~y~\)円とする。

\(x+y=10000\) ・・・①

Aの定価:\(1.3x~\)円

Aの売価:\((1.3x×0.8)\)円

Bの定価:\(1.3y~\)円

Bの売価:\((1.3y×0.85)\)円

合計の売価:\((10000+530)\)円

\(1.3x×0.8+1.3y×0.85=10530\)

両辺を\(~1.3~\)で割る。

\(0.8x+0.85y=8100\)

両辺に\(~20~\)をかける。

\(16x+17y=162000\) ・・・②

①\(×17-\)②

\(x=8000\)

これを、①に代入する。

\(8000+y=10000\)

\(y=2000\)

[答]A\(~8000~\)円、B\(~2000~\)円

 

例題2

ある商店は、原価\(~20~\)円の商品Aと原価\(~50~\)円の商品Bをそれぞれ何個か仕入れて、\(13000~\)円を支払いました。どちらも\(~20~\)%の利益を見込んだ定価で販売したところ、Aはすべて売れましたが、Bは\(~2~\)割が売れ残りました。

売れ残ったBを定価の\(~20~\)円引きで販売したところ、すべて売ることができ、利益は合わせて\(~2200~\)円になりました。

A、Bをそれぞれ何個ずつ仕入れましたか。個数を求めなさい。

 

考え方

原価と売価について、それぞれ方程式をつくります。

解答

Aを\(~x~\)個、Bを\(~y~\)個仕入れたとする。

\(20x+50y=13000\)

両辺を\(~10~\)で割る。

\(2x+5y=1300\) ・・・①

Aの定価:\(20×1.2=24\)(円)

Bの定価:\(50×1.2=60\)(円)

Bの値引き後の売価:\(60-20=40\)(円)

Bは、\((0.8×y)~\)個が\(~60~\)円で、\((0.2×y)~\)個が\(~40~\)円で売れた。

売価の合計は、

\(24x+60×0.8y+40×0.2y=13000+2200\)

整理すると、

\(24x+56y=15200\)

両辺を\(~8~\)で割る。

\(3x+7y=1900\) ・・・②

①\(×3\)

\(6x+15y=3900\) ・・・①’

②\(×2\)

\(6x+14y=3800\) ・・・②’

①’-②’

\(y=100\)

これを、①に代入する。

\(2x+500=1300\)

\(2x=800\)

\(x=400\)

[答]A\(~400~\)個、B\(~100~\)個

 

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