定価・原価・利益の問題（連立方程式）

問題文の中に、求める数が２つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、２つの方程式をつくります。

 

商品を売るときには、原価（仕入れ値）にいくらかの利益を見込んで定価をつけます。これらの値段の関係は次のようになります。

原価･･･小売店が卸売（おろしうり）業者から商品を買い入れた値段。仕入れ値ともいう。 定価･･･原価にいくらかの利益を見込んでつけた値段 売価･･･実際に商品を売った値段。定価と同じときもあるが、値引きをすると定価より安い値段になる。 利益（実際の利益）･･･売価と原価の差額 　[定価]＝[原価]＋[利益(見込みの利益)] 　[利益(実際の利益)]＝[売価]－[原価]

 

例題１ ある商店で、Ａ、Ｂ２つの商品を合計\(~10,000~\)円で仕入れて、どちらも\(~3~\)割の利益を見込んで定価をつけました。 ところが、売れないので、Ａを\(~20~\)％引き、Ｂを\(~15~\)％引きで売ったところ、利益が合わせて\(~530~\)円になりました。 Ａ、Ｂの原価を求めなさい。

 

考え方

原価と売価について、それぞれ方程式をつくります。

解答

Ａの原価を\(~x~\)円、Ｂの原価を\(~y~\)円とする。

\(x+y=10000\)　･･･①

Ａの定価：\(1.3x~\)円

Ａの売価：\((1.3x×0.8)\)円

Ｂの定価：\(1.3y~\)円

Ｂの売価：\((1.3y×0.85)\)円

合計の売価：\((10000+530)\)円

\(1.3x×0.8+1.3y×0.85=10530\)

両辺を\(~1.3~\)で割る。

\(0.8x+0.85y=8100\)

両辺に\(~20~\)をかける。

\(16x+17y=162000\)　･･･②

①\(×17-\)②

\(x=8000\)

これを、①に代入する。

\(8000+y=10000\)

\(y=2000\)

［答］Ａ\(~8000~\)円、Ｂ\(~2000~\)円

 

例題２ ある商店は、原価\(~20~\)円の商品Ａと原価\(~50~\)円の商品Ｂをそれぞれ何個か仕入れて、\(13000~\)円を支払いました。どちらも\(~20~\)%の利益を見込んだ定価で販売したところ、Ａはすべて売れましたが、Ｂは\(~2~\)割が売れ残りました。 売れ残ったＢを定価の\(~20~\)円引きで販売したところ、すべて売ることができ、利益は合わせて\(~2200~\)円になりました。 Ａ、Ｂをそれぞれ何個ずつ仕入れましたか。個数を求めなさい。

 

考え方

原価と売価について、それぞれ方程式をつくります。

解答

Ａを\(~x~\)個、Ｂを\(~y~\)個仕入れたとする。

\(20x+50y=13000\)

両辺を\(~10~\)で割る。

\(2x+5y=1300\)　･･･①

Ａの定価：\(20×1.2＝24\)（円）

Ｂの定価：\(50×1.2＝60\)（円）

Ｂの値引き後の売価：\(60-20＝40\)（円）

Ｂは、\((0.8×y)~\)個が\(~60~\)円で、\((0.2×y)~\)個が\(~40~\)円で売れた。

売価の合計は、

\(24x+60×0.8y+40×0.2y=13000+2200\)

整理すると、

\(24x+56y=15200\)

両辺を\(~8~\)で割る。

\(3x+7y=1900\)　･･･②

①\(×3\)

\(6x+15y=3900\)　･･･①’

②\(×2\)

\(6x+14y=3800\)　･･･②’

①’－②’

\(y=100\)

これを、①に代入する。

\(2x+500=1300\)

\(2x=800\)

\(x=400\)

［答］A\(~400~\)個、Ｂ\(~100~\)個

 

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