連立方程式の利用

速度と距離の問題(連立方程式)

問題文の中に、求める数が2つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、2つの方程式をつくります。

 

速度(速さ)と距離(道のり)、時間の関係は次のようになります。

[速度]=\(\displaystyle\frac{[距離]~~}{[時間]~~}\)

[時間]=\(\displaystyle\frac{[距離]~~}{[速度]~~}\)

[距離]=[速度]×[時間]

 

速度とは、一定の時間に進む距離のこと

 時速(毎時)・・・1時間に進む距離

 分速(毎分)・・・1分間に進む距離

 秒速(毎秒)・・・1秒間に進む距離

 

例題1

自動車で、A地点からB地点を通り、C地点まで行きます。

AB間を時速\(~40~\)㎞、BC間を時速\(~50~\)㎞で行くと\(~8~\)時間かかりますが、AB間を時速\(~50~\)㎞、BC間を時速\(~60~\)㎞で行くと\(~1~\)時間\(~30~\)分早く行けます。

AB間、BC間の距離をそれぞれ求めなさい。

 

考え方

それぞれの移動にかかる時間をもとに、2つの方程式をつくります。

[時間]=\(\displaystyle\frac{[距離]~~}{[速度]~~}\)

 

解答

AB間を\(~x~\)km、BC間を\(~y~\)kmとする。

\(\displaystyle\frac{x}{40}+\frac{y}{50}=8\) ・・・①

\(\displaystyle\frac{x}{50}+\frac{y}{60}=6.5\) ・・・②

①×\(~40\)

\(x+\displaystyle\frac{4}{5}y=320\) ・・・①’

②×50

\(x+\displaystyle\frac{5}{6}y=325\) ・・・②’

②’-①’

\(\displaystyle\left(\frac{5}{6}-\frac{4}{5}\right)y=5\)

\(\displaystyle\frac{1}{30}y=5\)

\(y=150\)

これを、①’に代入する。

\(x+120=320\)

\(x=200\)

[答]AB間\(~200~\)m、BC間\(~150~\)m

 

例題2

Tさんは、家から\(~5.2~\)km離れた公園へ行くのに、はじめの\(~30~\)分は走って行き、そのあと\(~5~\)分歩くと公園に着きました。帰りは、\(25~\)分走って、そのあと\(~15~\)分歩くと家に着きました。

Tさんの走る速さと歩く速さは、行きも帰りもそれぞれ同じものとして、走る速さ(分速)と歩く速さ(分速)を求めなさい。

 

考え方

距離をもとに、行きと帰りの関係を方程式にします。

[距離]=[速度]×[時間]

解答

走る速さを毎分\(~x~\)m、歩く速さを毎分\(~y~\)mとする。

行き:\(30x+5y=5200\) ・・・①

帰り:\(25x+15y=5200\) ・・・②

①\(÷5\)

\(6x+y=1040\) ・・・①’

②\(÷5\)

\(5x+3y=1040\) ・・・②’

①’\(×3-\)②’

\(13x=2080\)

\(x=160\)

これを、①’に代入する。

\(960+y=1040\)

\(y=80\)

[答]走る速さ 分速\(~160~\)m、歩く速さ 分速\(~80~\)m

 

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