速度と距離の問題（連立方程式）

問題文の中に、求める数が２つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、２つの方程式をつくります。

 

速度（速さ）と距離（道のり）、時間の関係は次のようになります。

[速度]=\(\displaystyle\frac{[距離]~~}{[時間]~~}\) [時間]=\(\displaystyle\frac{[距離]~~}{[速度]~~}\) [距離]=[速度]×[時間]

 

速度とは、一定の時間に進む距離のこと 　時速（毎時）･･･１時間に進む距離 　分速（毎分）･･･１分間に進む距離 　秒速（毎秒）･･･１秒間に進む距離

 

例題１ 自動車で、Ａ地点からＢ地点を通り、Ｃ地点まで行きます。 ＡＢ間を時速\(~40~\)㎞、ＢＣ間を時速\(~50~\)㎞で行くと\(~8~\)時間かかりますが、ＡＢ間を時速\(~50~\)㎞、ＢＣ間を時速\(~60~\)㎞で行くと\(~1~\)時間\(~30~\)分早く行けます。 ＡＢ間、ＢＣ間の距離をそれぞれ求めなさい。

 

考え方

それぞれの移動にかかる時間をもとに、２つの方程式をつくります。

[時間]=\(\displaystyle\frac{[距離]~~}{[速度]~~}\)

 

解答

ＡＢ間を\(~x~\)km、ＢＣ間を\(~y~\)kmとする。

\(\displaystyle\frac{x}{40}+\frac{y}{50}=8\)　･･･①

\(\displaystyle\frac{x}{50}+\frac{y}{60}=6.5\)　･･･②

①×\(~40\)

\(x+\displaystyle\frac{4}{5}y=320\)　･･･①’

②×50

\(x+\displaystyle\frac{5}{6}y=325\)　･･･②’

②’－①’

\(\displaystyle\left(\frac{5}{6}-\frac{4}{5}\right)y=5\)

\(\displaystyle\frac{1}{30}y=5\)

\(y=150\)

これを、①’に代入する。

\(x+120=320\)

\(x=200\)

［答］ＡＢ間\(~200~\)m、ＢＣ間\(~150~\)ｍ

 

例題２ Ｔさんは、家から\(~5.2~\)km離れた公園へ行くのに、はじめの\(~30~\)分は走って行き、そのあと\(~5~\)分歩くと公園に着きました。帰りは、\(25~\)分走って、そのあと\(~15~\)分歩くと家に着きました。 Ｔさんの走る速さと歩く速さは、行きも帰りもそれぞれ同じものとして、走る速さ（分速）と歩く速さ（分速）を求めなさい。

 

考え方

距離をもとに、行きと帰りの関係を方程式にします。

[距離]=[速度]×[時間]

解答

走る速さを毎分\(~x~\)m、歩く速さを毎分\(~y~\)mとする。

行き：\(30x+5y=5200\)　･･･①

帰り：\(25x+15y=5200\)　･･･②

①\(÷5\)

\(6x+y=1040\)　･･･①’

②\(÷5\)

\(5x+3y=1040\)　･･･②’

①’\(×3-\)②’

\(13x=2080\)

\(x=160\)

これを、①’に代入する。

\(960+y=1040\)

\(y=80\)

［答］走る速さ　分速\(~160~\)m、歩く速さ　分速\(~80~\)m

 

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