整数の問題（連立方程式）

問題文の中に、求める数が２つある場合は、それぞれを\(~x~\)、\(~y~\)で表します。ただし、問題によっては、求める数に関連のある数を\(~x~\)、\(~y~\)としたほうが解きやすい場合もあります。

問題文から等しい関係にあるものを見つけ出し、２つの方程式をつくります。

 

例題１ ２けたの整数があります。一の位の数と十の位の数の和は\(~12~\)で、一の位の数と十の位の数を入れかえた整数は、もとの整数の\(~2~\)倍より\(~12~\)小さくなります。 もとの整数を求めなさい。

 

考え方

２けたの整数は、\(10x+y~\)と表すことができます。

解答

もとの整数を\(~10x+y~\)とする。

\(x+y=12\)　･･･①

数字を入れかえた整数は、\(10y+x~\)となる。

\(10y+x=2(10x+y)-12\)

\(10y+x=20x+2y-12\)

\(19x-8y=12\)　･･･②

①より、\(y=12-x\)

これを、②に代入する。

\(19x-8(12-x)=12\)

\(19x+8x=12+96\)

\(27x=108\)

\(x=4\)

\(y=12-4=8\)

［答］\(48\)

 

例題２ 異なる２つの正の整数があります。大きい数から小さい数を引くと\(~490~\)になり、大きい数を小さい数で割ると商が\(~6~\)、余りが\(~30~\)になります。 ２つの数を求めなさい。

 

考え方

２とおりの計算について、方程式をつくります。

解答

大きい数を\(~x~\)、小さい数を\(~y~\)とする。

\(x-y=490\)　･･･①

\(x=6y+30\)　･･･②

②を①に代入する。

\((6y+30)-y=490\)

\(5y=460\)

\(y=92\)

\(x=490+92=582\)

［答］\(582~\)と\(~92\)

 

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