２次方程式

【２次方程式】

\(a~\)、\(b~\)、\(c~\)を定数として

\(ax^2+bx+c=0（a≠0）\)

のかたちで表される方程式を、\(x~\)についての「２次方程式」といいます。

２次方程式の解は、一般に２つですが、方程式によっては、解が１つであったり、解がないということもあります。

２次方程式の解き方には次のような方法があります。

①　因数分解を利用する。 ②　平方完成を利用する。 ③　解の公式を利用する。

 

【２次方程式の解き方】

≪因数分解の利用≫

２つの数\(~a~\)、\(b~\)について、

\(ab=0\)　ならば、\(a=0\)　または　\(b=0\)

が成り立ちます。

「積が\(~0~\)なら、少なくともどちらか一方は\(~0~\)である」ということです。

このことは、多項式の積についても成り立ちます。

これを利用して２次方程式を解くことができます。

 

因数分解の利用 \((x-a)(x-b)=0\)　ならば、 \(x-a=0~\)、\(x-b=0\) よって、\(x=a~\)、\(x=b\)

 

例１

\(x^2-5x+6=0\)

　左辺を因数分解する。

\((x-2)(x-3)=0\)

よって、\(x=2~\)、\(x=3\)

 

例２

\(2x^2+10x-48=0\)

　両辺を2で割る。

\(x^2+5x-24=0\)

　左辺を因数分解する。

\((x+8)(x-3)=0\)

よって、\(x=-8~\)、\(x=3\)

 

例３

\(2(x-1)^2-17=x(x-2)\)

　両辺を展開して、整理する。

\(2x^2-4x+2-17=x^2-2x\)

\(x^2-2x-15=0\)

　左辺を因数分解する。

\((x+3)(x-5)=0\)

よって、\(x=-3~\)、\(x=5\)

 

≪平方完成の利用≫

\(ax^2+bx+c=0~\)を変形して、\((x+p)^2=q~\)のかたちにすることを「平方完成」といいます。

平方完成で変形した２次方程式は、次のようにして解くことができます。

\(~~~~~(x+p)^2=q\)

\(~~~~~x+p=±\sqrt{q}\)

\(~~~~~x=-p±\sqrt{q}\)

 

平方完成の利用 \((x+p)^2=q\) \(~~~~~⇓\) \(~x=-p±\sqrt{q}\)

 

平方完成をするのには、\(x~\)の係数の半分の２乗を加えます。

 

例１

\(x^2+6x+4=0\)

　定数項を移項する。

\(x^2+6x=-4\)

　\(x~\)の係数（\(~3~\)）の半分の２乗（\(~9~\)）を両辺に加える。

\(x^2+6x+9=-4+9\)

\((x+3)^2=5\)

\(x+3=±\sqrt{5}\)

\(x=-3±\sqrt{5}\)

 

例２

\(3x^2+4x-1=0\)

　定数項を移項する。

\(3x^2+4x=1\)

　\(x^2~\)の係数（\(~3~\)）で両辺を割る。

\(x^2+\displaystyle\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}\)

　\(x~\)の係数の半分の２乗を両辺に加える。

\(x^2+\displaystyle\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^2\)

\(\displaystyle\left(x+\frac{2}{3}\right)^2=\frac{7}{9}\)

\(x+\displaystyle\frac{2}{3}=±\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(x=-\displaystyle\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(x=-\displaystyle\frac{-2±\sqrt{7}}{3}\)

 

例３

\(x^2+3x-108=0\)

\(x^2+3x=108\)

\(x^2+3x+\displaystyle\left(\frac{3}{2}\right)^2=108+\left(\frac{3}{2}\right)^2\)

\(\displaystyle\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{441}{4}\)

\(x+\displaystyle\frac{3}{2}=±\frac{21}{2}\)

\(x=-\displaystyle\frac{3}{2}±\frac{21}{2}\)

\(x=12\)、\(x=-9\)

 

例３は、左辺を因数分解して

\((x-12)(x+9)=0\)

として解くこともできます。

 

≪解の公式の利用≫

２次方程式は、「解の公式」を用いると、どんな形のものでも解くことができます。

ただし、因数分解や平方完成が利用できるときは、そのほうが簡単です。

２次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)　の解は、 \(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

 

解の公式の導き方

\(ax^2+bx+c=0\)

　定数項を移項する。

\(ax^2+bx=-c\)

　両辺を\(~a~\)で割る。

\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)

　両辺に\(~\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^2~\)を加える。
（\(x~\)の係数の「半分の２乗」を加える。）

\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)

　左辺を平方のかたちにし、右辺を計算する。

\(\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\)

\(\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

　平方根を求めて、\(~x=~\)のかたちに整理する。

\(x+\displaystyle\frac{b}{2a}=±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)

\(x+\displaystyle\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x=\displaystyle\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

❢　「解の公式」は「平方完成の利用」を公式のかたちにしたものです。

 

例１

\(x^2-8x+6=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-(-8)±\sqrt{(-8)^2-4×1×6}}{2×1}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{8±\sqrt{40}}{2}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{8±2\sqrt{10}}{2}\)

\(~~~~~=4±\sqrt{10}\)

 

例２

\(6x^2+x-2=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-1±\sqrt{1^2-4×6×(-2)}}{2×6}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{-1±\sqrt{49}}{12}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{-1±7}{12}\)

\(~~~~~~~~~~\displaystyle\frac{-1+7}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

\(~~~~~~~~~~\displaystyle\frac{-1-7}{12}=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}\)

\(~~~~~x=\displaystyle\frac{1}{2}、-\frac{2}{3}\)

 

例３

\(2x^2+5=4x\)

\(2x^2-4x+5=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-(-4)±\sqrt{(-4)^2-4×2×5}}{2×2}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{4±\sqrt{-24}}{4}\)

根号の中が負になるが、そのような数はないので、解はない。

 

例４

\(-\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0\)

　両辺に\(~-12~\)をかける。

\(4x^2-6x-3=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^2-4×4×(-3)}}{2×4}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{6±\sqrt{84}}{8}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{6±2\sqrt{21}}{8}\)

\(~~~~~=\displaystyle\frac{3±\sqrt{21}}{4}\)

 

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