２次方程式の解の問題

例題１ \(x~\)の２次方程式\(~x^2+x-6=a~\)の１つの解が\(~3~\)のとき、もう１つの解を求めなさい。

 

考え方

与えられた方程式に、\(x=3~\)を代入すると、\(a~\)の値を求めることができます。

解答

方程式\(~x^2+x-6=a~\)は、\(x=3~\)のときに成り立つ。

\(3^2+3-6=a\)

\(a=6\)

よって、与えられた方程式は、

\(x^2+x-6=6\)

\(x^2+x-12=0\)

\((x+4)(x-3)=0\)

\(x=-4~,~x=3\)

［答］\(-4\)

 

例題２ \(x~\)の２次方程式\(~x^2-ax+12=0~\)の２つの解がどちらも正の整数であるとき、\(a~\)の値をすべて求めなさい。

 

考え方

２つの解を\(~m\)、\(n~\)とすると、方程式の左辺は\(~(x-m)(x-n)~\)と因数分解できます。

解答

２つの解を\(~m\)、\(n~(m>n>0)~\)とすると、

\((x-m)(x-n)=0\)

\(x^2-(m+n)x+mn=0\)

よって

\(m+n=a\)　①

\(mn=12\)　②

\(m>n~\)だから、②より

\((m~,~n)=(12~,~1)~,~(6~,~2)~,~(4~,~3)\)

よって、①より

\(a=13~,~8~,~7\)

［答］\(7~,~8,~13\)

 

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