整数の問題（２次方程式）

例題１ ２つの数があります。その和が\(~6~\)で、積が\(~-11~\)であるとき、これらの２つの数を求めなさい。

 

考え方

一方の数を\(~x~\)とすると、他方の数は\(~6-x~\)と表せます。

解答

一方の数を\(~x~\)とすると、他方の数は\(~6-x~\)である。

\(x(6-x)=-11\)

\(6x-x^2=-11\)

\(x^2-6x-11=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^2-4×1×(-11)}}{2}\)

\(~~~=\displaystyle\frac{6±\sqrt{80}}{2}\)

\(~~~=\displaystyle\frac{6±4\sqrt{5}}{2}\)

\(~~~=3±2\sqrt{5}\)

［答］\(3+2\sqrt{5}\)　と　\(3-2\sqrt{5}\)

 

例題２ 連続する５つの自然数があります。このうちの最大の数と最小の数の\(~2~\)乗の和が、他の３つの数の和の\(~4~\)倍より\(~8~\)大きいとき、これらの５つの数を求めなさい。

 

考え方

５つの自然数のうち、中央の数を\(~x~\)とします。

解答

５つの自然数のうち、中央の数を\(~x~\)とすると、５つの数は、

\(x-2~,~x-1~,~x~,~x+1~,~x+2\)

と表せる。

\((x-2)^2+(x+2)^2\\~~~=4×\{(x-1)+x+(x+1)\}+8\)

\((x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)\\~~~=4×3x+8\)

\(2x^2+8=12x+8\)

\(2x^2-12x=0\)

\(2x(x-6)=0\)

\(x≠0~\)だから、\(x-6=0\)

よって、\(x=6\)

［答］\(4~,~5~,~6~,~7~,~8\)

 

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