図形の問題（２次方程式）

例題１ 長さ\(~40~\)㎝の針金を折り曲げて長方形をつくったところ、その面積が\(~96~\)㎠になりました。この長方形の２辺の長さはそれぞれ何㎝ですか。

 

考え方

長方形の１辺の長さを\(~x~\)㎝として、方程式をつくります。

解答

長方形の１辺の長さを\(~x~\)㎝とすると、他の一辺は\(~(20-x)~\)㎝となる。

\(x(20-x)=96\)

\(x^2-20x+96=0\)

\((x-8)(x-12)x=0\)

\(x=8~,~12\)

［答］\(8~\)㎝と\(~12~\)㎝

 

例題２ 縦の長さが横の長さより\(~7~\)㎝短い長方形の厚紙があります。この厚紙の４すみから１辺の長さが\(~3~\)㎝の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、容積が\(~180~\)㎤になりました。もとの厚紙の縦の長さを求めなさい。

考え方

厚紙の縦の長さを\(~x~\)㎝として、方程式をつくります。

解答

厚紙の縦の長さを\(~x~\)㎝とすると、横の長さは\(~(x+7)~\)㎝となる。

容器の高さは、\(3~\)㎝

容器の縦は、\(x-3×2=x-6~\)(㎝)

容器の横は、\(x+7-3×2=x+1~\)(㎝)

\(3(x-6)(x+1)=180\)

\((x-6)(x+1)=60\)

\(x^2-5x-6=60\)

\(x^2-5x-66=0\)

\((x+6)(x-11)=0\)

\(x=-6~,~11\)

\(x>6~\)なので、\(x=11\)

［答］\(11~\)㎝

 

例題３ 台形ABCDは、AD//BCで、高さは上底ADの長さと等しく、下底BCの長さは上底ADの長さより\(~4~\)㎝長い。 点Dを通り、ABに平行な直線がBCと交わる点をEとすると、四角形ABEDの面積は、台形ABCDの面積の\(\displaystyle\frac{2}{3}\)より\(~7~\)㎠大きくなります。 台形ABCDの面積を求めなさい。

 

考え方

上底ADの長さを\(~x~\)㎝として、方程式をつくります。

解答

ADの長さを\(~x~\)㎝とする。

四角形ABEDは平行四辺形なので、面積は\(~x^2~\)(㎠)。

BCの長さは\(~x+4~\)(㎝)なので、台形ABCDの面積は、

\((x+x+4)×x×\displaystyle\frac{1}{2}\\~~~=x(x+2)=x^2+2x~(㎠)\)

よって、

\(x^2=\displaystyle\frac{2}{3}(x^2+2x)+7\)

\(3x^2=2(x^2+2x)+21\)

\(x^2-4x-21=0\)

\((x+3)(x-7)=0\)

\(x=-3~,~7\)

\(x>0~\)なので、\(x=7\)

よって、台形ABCDの面積は

\((7+11)×7×\displaystyle\frac{1}{2}=63\)(㎠)

［答］\(63~\)㎠

 

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