方程式と不等式

不等式

【不等式とは】

数量の大小関係を表す式を「不等式」といいます。

不等式は、「不等号」を使って大小関係を表します。

不等号:< > ≦ ≧

例1

\(x<3\)

意味:\(x~\)は\(~3~\)より小さい。

例2

\(a+b>2c\)

意味:\(a+b~\)は\(~2c~\)より大きい。

例3

\(x^2-1≦9\)

意味:\(x^2-1~\)は\(~9~\)より小さい、または、\(9~\)と等しい。
(「\(x^2-1~\)は\(~9~\)以下である。」ということもできる。)

例4

\(2x+3y≧x-y\)

意味:\(2x+3y~\)は\(~x-y~\)より大きい、または、\(x-y~\)と等しい。
(「\(2x+3y~\)は\(~x-y~\)以上である。」ということもできる。)

 

【不等式の解】

\(x~\)についての不等式を成り立たせる\(~x~\)を、その不等式の「」といいます。

不等式の解を求めることを「不等式を解く」といいます。

不等式の解は1つに定まりません。その不等式を成り立たせる\(~x~\)の範囲が不等式の解です。

不等式を解くときは、不等式の性質を利用して、式を変形して解くことができます。

 

【不等式の性質】

不等式には次の性質があります。不等式を解くときにはこの性質を利用します。

① 不等式の両辺に同じ数(式)を加えても、不等号の向きは変わらない。

\(A>B\) ならば \(A+C>B+C\)

\(A<B\) ならば \(A+C<B+C\)

② 不等式の両辺から同じ数(式)をひいても、不等号の向きは変わらない。

\(A>B\) ならば \(A-C>B-C\)

\(A<B\) ならば \(A-C<B-C\)

③ 不等式の両辺に同じ正の数(式)をかけても、不等号の向きは変わらない。

\(A>B、C>0\) ならば \(AC>BC\)

\(A<B、C>0\) ならば \(AC<BC\)

④ 不等式の両辺を同じ正の数(式)で割っても、不等号の向きは変わらない。

\(A>B、C>0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)

\(A<B、C>0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}<\frac{B}{C}\)

⑤ 不等式の両辺に同じ負の数(式)をかけると、不等号の向きは変わる

\(A>B、C<0\) ならば \(AC<BC\)

\(A<B、C<0\) ならば \(AC>BC\)

⑥ 不等式の両辺を同じ負の数(式)で割ると、不等号の向きは変わる

\(A>B、C<0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}<\frac{B}{C}\)

\(A<B、C<0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)

不等号の < を ≦ に、> を ≧ に変えても、これらの性質は成り立ちます。

 

\(2<5\) の両辺に \(6\) を加えると、\(8<11\)

\(20>13\) の両辺から \(8\) をひくと、\(12>5\)

\(-3<1\) の両辺に \(4\) をかけると、\(-12<4\)

\(15>-20\) の 両辺を \(5\) で割ると、\(3>-4\)

\(2<5\) の両辺に \(-3\) をかけると、\(-6>-20\)

\(-21>-35\) の両辺を \(-7\) で割ると、\(3<5\)

 

【不等式の解き方】

不等式を解くときは、方程式と同じように移項して \(ax>b\) または \(ax<b\)の形にします。

\(a>0\) のとき

\(ax>b\) の両辺を \(a\) で割って \(x>\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(ax<b\) の両辺を \(a\) で割って \(x<\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(a<0\) のとき

\(ax>b\) の両辺を \(a\) で割って \(x<\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(ax<b\) の両辺を \(a\) で割って \(x>\displaystyle\frac{b}{a}\)

❢❢ 負の数で割ると不等号の向きが変わることに注意をする。

 

例題

次の不等式を解きなさい。

 \(2x+3>9\)

 \(-3x-5≦-8\)

 \(5x-4>3x+8\)

 \(-3y+7<-5+y\)

 \(6+x≧3(x-2)\)

 \(5(a+4)<a+2(a-1)\)

 

解答

 \(2x+3>9\)

\(2x>9-3\)

\(2x>6\)

\(x>3\)

 

 \(-3x-5≦-8\)

\(-3x≦-8+5\)

\(-3x≦-3\)

\(x≧1\)

 

 \(5x-4>3x+8\)

\(5x-3x>8+4\)

\(2x>12\)

\(x>6\)

 

 \(-3y+7<-5+y\)

\(-3y-y<-5-7\)

\(-4y<-12\)

\(y>3\)

 

 \(6+x≧3(x-2)\)

\(6+x≧3x-6\)

\(x-3x≧-6-6\)

\(-2x≧-12\)

\(x≦6\)

 

 \(5(a+4)<a+2(a-1)\)

\(5a+20<a+2a-2\)

\(5a-3a<-2-20\)

\(2a<-22\)

\(a<-11\)

 

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