不等式
【不等式とは】
数量の大小関係を表す式を「不等式」といいます。
不等式は、「不等号」を使って大小関係を表します。
不等号：＜ ＞ ≦ ≧
例１
\(x<3\)
意味：\(x~\)は\(~3~\)より小さい。
例２
\(a+b>2c\)
意味：\(a+b~\)は\(~2c~\)より大きい。
例３
\(x^2-1≦9\)
意味：\(x^2-1~\)は\(~9~\)より小さい、または、\(9~\)と等しい。
（「\(x^2-1~\)は\(~9~\)以下である。」ということもできる。）
例４
\(2x+3y≧x-y\)
意味：\(2x+3y~\)は\(~x-y~\)より大きい、または、\(x-y~\)と等しい。
（「\(2x+3y~\)は\(~x-y~\)以上である。」ということもできる。）
【不等式の解】
\(x~\)についての不等式を成り立たせる\(~x~\)を、その不等式の「解」といいます。
不等式の解を求めることを「不等式を解く」といいます。
不等式の解は１つに定まりません。その不等式を成り立たせる\(~x~\)の範囲が不等式の解です。
不等式を解くときは、不等式の性質を利用して、式を変形して解くことができます。
【不等式の性質】
不等式には次の性質があります。不等式を解くときにはこの性質を利用します。
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① 不等式の両辺に同じ数（式）を加えても、不等号の向きは変わらない。 \(A>B\) ならば \(A+C>B+C\) \(A<B\) ならば \(A+C<B+C\)
② 不等式の両辺から同じ数（式）をひいても、不等号の向きは変わらない。 \(A>B\) ならば \(A-C>B-C\) \(A<B\) ならば \(A-C<B-C\)
③ 不等式の両辺に同じ正の数（式）をかけても、不等号の向きは変わらない。 \(A>B、C>0\) ならば \(AC>BC\) \(A<B、C>0\) ならば \(AC<BC\)
④ 不等式の両辺を同じ正の数（式）で割っても、不等号の向きは変わらない。 \(A>B、C>0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\) \(A<B、C>0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}<\frac{B}{C}\)
⑤ 不等式の両辺に同じ負の数（式）をかけると、不等号の向きは変わる。 \(A>B、C<0\) ならば \(AC<BC\) \(A<B、C<0\) ならば \(AC>BC\)
⑥ 不等式の両辺を同じ負の数（式）で割ると、不等号の向きは変わる。 \(A>B、C<0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}<\frac{B}{C}\) \(A<B、C<0\) ならば \(\displaystyle\frac{A}{C}>\frac{B}{C}\)
不等号の ＜ を ≦ に、＞ を ≧ に変えても、これらの性質は成り立ちます。 |
例
\(2<5\) の両辺に \(6\) を加えると、\(8<11\)
\(20>13\) の両辺から \(8\) をひくと、\(12>5\)
\(-3<1\) の両辺に \(4\) をかけると、\(-12<4\)
\(15>-20\) の 両辺を \(5\) で割ると、\(3>-4\)
\(2<5\) の両辺に \(-3\) をかけると、\(-6>-20\)
\(-21>-35\) の両辺を \(-7\) で割ると、\(3<5\)
【不等式の解き方】
不等式を解くときは、方程式と同じように移項して \(ax>b\) または \(ax<b\)の形にします。
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\(a>0\) のとき \(ax>b\) の両辺を \(a\) で割って \(x>\displaystyle\frac{b}{a}\) \(ax<b\) の両辺を \(a\) で割って \(x<\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(a<0\) のとき \(ax>b\) の両辺を \(a\) で割って \(x<\displaystyle\frac{b}{a}\) \(ax<b\) の両辺を \(a\) で割って \(x>\displaystyle\frac{b}{a}\)
❢❢ 負の数で割ると不等号の向きが変わることに注意をする。 |
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例題 次の不等式を解きなさい。 ① \(2x+3>9\) ② \(-3x-5≦-8\) ③ \(5x-4>3x+8\) ④ \(-3y+7<-5+y\) ⑤ \(6+x≧3(x-2)\) ⑥ \(5(a+4)<a+2(a-1)\) |
解答
① \(2x+3>9\)
\(2x>9-3\)
\(2x>6\)
\(x>3\)
② \(-3x-5≦-8\)
\(-3x≦-8+5\)
\(-3x≦-3\)
\(x≧1\)
③ \(5x-4>3x+8\)
\(5x-3x>8+4\)
\(2x>12\)
\(x>6\)
④ \(-3y+7<-5+y\)
\(-3y-y<-5-7\)
\(-4y<-12\)
\(y>3\)
⑤ \(6+x≧3(x-2)\)
\(6+x≧3x-6\)
\(x-3x≧-6-6\)
\(-2x≧-12\)
\(x≦6\)
⑥ \(5(a+4)<a+2(a-1)\)
\(5a+20<a+2a-2\)
\(5a-3a<-2-20\)
\(2a<-22\)
\(a<-11\)
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