食塩水の濃度の問題（２次方程式）

食塩水と濃度（濃さ）の関係は次のようになります。

[食塩水の重さ]=[食塩の重さ]+[水の重さ] [食塩水の濃度](%)=\(\displaystyle\frac{[食塩の重さ]~~~~~~}{[食塩水の重さ]~~~~~~~}×100\) [食塩の重さ]＝[食塩水の重さ]×[濃度]

 

例題１ 　濃度\(~3.6~\)%の食塩水が\(~5~\)kgあります。ここから\(~x~\)kgの水分を蒸発させて、そこに濃度\(~2~\)%の食塩水を\(~3~\)kg加えると、濃度が\(~2x~\)%になりました。 　\(x~\)を求めなさい。

 

考え方

食塩の重さに着目して、方程式をつくります。

[食塩の重さ]＝[食塩水の重さ]×[濃度]

解法

はじめにあった食塩水に含まれる食塩の重さは、

\(\displaystyle5×\frac{3.6}{100}=0.18\)（kg）

加えた食塩水に含まれる食塩の重さは、

\(\displaystyle3×\frac{2}{100}=0.06\)（kg）

できた食塩水の重さは、

\(5-x+3=8-x\)（kg）

したがって、

\(\displaystyle0.18+0.06=(8-x)×\frac{2x}{100}\)

\(18+6=2x(8-x)\)

\(12=x(8-x)\)

\(x^2-8x+12=0\)

\((x-2)(x-6)=0\)

\(x=2~,~x=6\)

\(x<5~\)なので、\(x=6~\)は問題に適さない。

［答］\(x=2\)

 

例題２ 　\(20~\)％の食塩水が\(~10~\)kgあります。そのなかから、いくらかの食塩水を取り出い、同じ重さの水を加えて\(~10~\)kgにします。これをよくかき混ぜ、ふたたび同じ重さの食塩水を取り出し、水を加えて\(~10~\)kgにすると、食塩水の濃度が\(~5~\)％になりました。 　最初に取り出した食塩水の重さを求めなさい。

 

考え方

残った食塩の重さに着目して、方程式をつくります。

解答

最初に取り出した食塩水の重さを\(~x~\)kgとする。

残った食塩水\(~(10-x)~\)kgに含まれる食塩の重さは、

\(\displaystyle(10-x)×\frac{20}{100}=\frac{10-x}{5}\)（kg）

水を加えたあとの濃度は、

\(\displaystyle\frac{10-x}{5}÷10×100=2(10-x)\)（％）

2回目に取り出したあとに残った食塩の重さは、

\(\displaystyle(10-x)×\frac{2(10-x)}{100}\)

\(~~~=\displaystyle\frac{(10-x)^2}{50}\)（kg）　①

また、\(5~\)％の食塩水\(~10~\)kgに含まれる食塩の重さは、

\(\displaystyle10×\frac{5}{100}=0.5\)（kg）　②

①と②が等しいので、

\(\displaystyle\frac{(10-x)^2}{50}=0.5\)

\((10-x)^2=25\)

\(100-20x+x^2=25\)

\(x^2-20x+75=0\)

\((x-5)(x-15)=0\)

\(x=5~,~x=15\)

\(x<10~\)なので、\(x=15~\)は問題に適さない。

［答］\(5~\)kg

 

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