平方完成

平方完成とは、\(x~\)の2次式

\(ax^2+bx+c\)　を

\(a(x+p)^2+q\)　の形に変形することです。

 

平方完成をすることにより、2次方程式を解いたり、2次不等式を証明したりすることができます。

 

平方完成は次の順にします。

①　\(x^2\)　の係数でくくる。（定数はくくらない。）

②　\(x\)　の係数の半分の2乗を加える。加えたら引く。

③　整理をする。

 

例

\(2x^2+7x-4=0\)

\(\displaystyle2\left(x^2+\frac{7}{2}x\right)-4=0\)

\(\displaystyle2\left(x^2+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^2-\frac{49}{16}\right)-4=0\)

\(\displaystyle2\left(x^2+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^2\right)-\frac{49}{8}-4=0\)

\(\displaystyle2\left(x+\frac{7}{4}\right)^2-\frac{81}{8}=0\)

\(\displaystyle2\left(x+\frac{7}{4}\right)^2=\frac{81}{8}\)

\(\displaystyle\left(x+\frac{7}{4}\right)^2=\frac{81}{16}\)

\(x+\displaystyle\frac{7}{4}=±\frac{9}{4}\)

\(x=\displaystyle\frac{±9-7}{4}\)

\(x=\displaystyle\frac{2}{4}~,~\frac{-16}{4}\)

\(x=\displaystyle\frac{1}{2}~,~-4\)

 

 

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