関数

座標とグラフ

【座標】

平面上の点の位置を表すための、2つの数の組を「座標(さひょう)」といいます。

2つの「数直線」(数の位置を表すための直線)を直角に交わるようにし、その交点を「原点」とします。原点はアルファベットのOで表します。

横の数直線を「\(~x~\)軸」(または「横軸」)、縦の数直線を「\(~y~\)軸」(または「縦軸」)といいます。

\(x~\)軸と\(~y~\)軸を合わせて「座標軸」といいます。

\(x~\)軸は、原点から右が正の向き、左が負の向きと決まっています。

\(y~\)軸は、原点から上が正の向き、下が負の向きと決まっています。

\(x~\)軸と\(~y~\)軸でつくられる平面を「座標平面」といいます。座標平面上にある点は、原点から上下左右のどちらの方向にどれだけ離れているかによって座標が決まります。

上の図で、点Pは\(~x~\)軸の正の向きに\(~4~\)、\(y~\)軸の正の向きに\(~3~\)のところにある点です。

これをP\((4,3)~\)と表します。これが点Pの座標です。

また、\(4~\)を点Pの「\(~x~\)座標」、\(3~\)を点Pの「\(~y~\)座標」といいます。

 

座標平面は、座標軸によって4つの部分に分かれます。図のように、反時計回りに「第1象限(しょうげん)」「第2象限」「第3象限」「第4象限」といいます。

 

例題

下の図の、点Aから点Hまでの、それぞれの座標をいいなさい。

 

考え方

例えば、点Cなら、原点から数えて、\(x~\)軸上を\(~-3~\)、\(y~\)軸上を\(~+7~\)、進んだところにあるので、座標は\(~(-3,7)~\)です。

\(x~\)軸上にある点の\(~y~\)座標は\(~0~\)、\(y~\)軸上にある点の\(~x~\)座標は\(~0~\)です。

解答

A\((3,6)\)  B\((2,0)\)  C\((-3,7)\)

D\((-2,2)\)  E\((5,-5)\)  F\((0,-6)\)

G\((-7,-1)\)  H\((6,3)\)

 

【比例のグラフ】

\(y~\)が\(~x~\)に比例するとき、その関係をグラフにすると、原点を通る直線になります。

① \(y=3x\)  ② \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x\)  ③ \(y=-\displaystyle\frac{3}{5}x\)

例えば、②のグラフ上の点A、B、Cの座標は、A\((6,3)\) B\((2,1)\) C\((-4,-2)\) であり、いずれも \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x\) を満たしています。

 

《比例のグラフ》

\(y=ax~~(a≠0)~\)のグラフは、原点を通る直線である。

\(a>0~\)のとき:グラフは右上がりの直線

\(a<0~\)のとき:グラフは右下がりの直線

 

 

 

【反比例のグラフ】

\(y~\)が\(~x~\)に反比例するとき、その関係をグラフにすると、図のような2つで1組の曲線になります。この曲線を「双曲線(そうきょくせん)」といい、原点について対象になっています。

 

《反比例のグラフ》

\(y=\displaystyle\frac{a}{x}~~(a≠0)~\)のグラフは、双曲線である。

\(a>0\) のとき:グラフは第1象限第3象限にある。

\(a<0\) のとき:グラフは第2象限第4象限にある。

 

 

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