関数

比例と反比例

【比例】

\(y~\)が\(~x~\)の関数で、\(~y=ax\)(\(~a~\)は\(~0~\)でない定数)の形で表せるとき、\(y~\)は\(~x~\)に「比例する」といいます。

また、定数\(~a~\)を「比例定数」といいます。

比例の例(1)

底辺が\(~8~\)cm、高さが\(~x~\)㎝の三角形の面積は\(~y~\)cm²である。

 \(y=8×x÷2\) よって \(y=4x\)(比例定数は\(~4~\))

 

比例の例(2)

時速\(~50~\)kmで\(~x~\)時間走ったときの距離は\(~y~\)kmである。

 \(y=50x\)(比例定数は\(~50~\))

 

比例の例(3)

元金\(~x~\)円を年利率\(~3~\)%で預金したときの1年後の利息は\(~y~\)円である。

 \(y=0.03x\)(比例定数は\(~0.03~\))

 

【反比例】

\(y~\)が\(~x~\)の関数で、\(~y=\displaystyle\frac{a}{x}\)(\(~a~\)は\(~0~\)でない定数)の形で表せるとき、\(y~\)は\(~x~\)に「反比例する」といいます。

また、定数\(~a~\)を「比例定数」といいます。

反比例の例(1)

面積が\(~20~\)cm²の平行四辺形の底辺が\(~x~\)㎝のとき、高さは\(~y~\)cmである。

 \(xy=20\) よって \(y=\displaystyle\frac{20}{x}\)(比例定数は\(~20~\))

 

反比例の例(2)

\(300~\)mの距離を秒速\(~x~\)mで移動するときにかかる時間は\(~y~\)秒である。

 \(y=\displaystyle\frac{300}{x}\)(比例定数は\(~300~\))

 

反比例の例(3)

\(500~\)リットルの水を\(~x~\)個のコップに同じ量ずつ分けると、1個のコップの水の量は\(~y~\)リットルである。

 \(y=\displaystyle\frac{500}{x}\)(比例定数は\(~500~\))

 

【比例・反比例の応用】

例題1

次の関数のうち、\(y~\)が\(~x~\)に比例するもの、反比例するものをそれぞれ選び、その比例定数をいいなさい。

(1)\(y=5x\)

(2)\(y=3x+2\)

(3)\(y=\displaystyle\frac{6}{x}\)

(4)\(y=3x^2\)

(5)\(xy=10\)

(6)\(3y=4x\)

 

考え方

\(y=ax\) の形で表せたら比例、\(y=\displaystyle\frac{a}{x}\) の形で表せたら反比例です。

解答

(1)比例。比例定数は\(~5\)

(2)どちらでもない。

(3)反比例。比例定数は\(~6\)

(4)どちらでもない。

(5)\(y=\displaystyle\frac{10}{x}\) 反比例。比例定数は\(~10\)

(6)\(y=\displaystyle\frac{4}{3}x\) 比例。比例定数は\(~\displaystyle\frac{4}{3}\)

 

例題2

次の関数のうち、\(y~\)が\(~x~\)に比例するもの、反比例するものをそれぞれ選び、その比例定数をいいなさい。

(1)\(-y=7x\)

(2)\(\displaystyle\frac{1}{x}=\frac{3}{y}\)

(3)\(x+y=0\)

(4)\(x+y=7\)

(5)\(\displaystyle\frac{3}{xy}=1\)

(6)\(\displaystyle\frac{y}{x}=6\)

 

解答

(1)\(y=-7x\) 比例。比例定数は\(~-7\)

(2)\(y=3x\) 比例。比例定数は\(~3\)

(3)\(y=-x\) 比例。比例定数は\(~-1\)

(4)\(y=-x+7\) どちらでもない。

(5)\(y=\displaystyle\frac{3}{x}\) 反比例。比例定数は\(~3\)

(6)\(y=6x\) 比例。比例定数は\(~6\)

 

例題3

次の\(~x~\)と\(~y~\)の関係のうち、\(y~\)が\(~x~\)に比例するもの、反比例するものをそれぞれ選び、その比例定数をいいなさい。

(1)一辺の長さが\(~x~\)cmの正方形の周の長さが\(~y~\)cmである。

(2)縦\(~x~\)cm、横\(~2x~\)cmの長方形の周の長さが\(~y~\)cmである。

(3)縦\(~x~\)cm、横\(~y~\)cmの長方形の周の長さが\(~40~\)cmである。

(4)縦\(~x~\)cm、横\(~y~\)cmの長方形の面積が\(~40~\)cm²である。

 

考え方

\(x~\)と\(~y~\)の関係を式に表します。

解答

(1)\(y=4x\) 比例。比例定数は\(~4\)

(2)\(y=2(x+2x)\)
   \(y=6x\) 比例。比例定数は\(~6\)

(3)\(2(x+y)=40\)
   \(y=-x+20\) どちらでもない。

(4)\(xy=40\)
   \(y={40}{x}\) 反比例。比例定数は\(~40\)

 

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