比例と反比例
【比例】
\(y~\)が\(~x~\)の関数で、\(~y=ax\)（\(~a~\)は\(~0~\)でない定数）の形で表せるとき、\(y~\)は\(~x~\)に「比例する」といいます。
また、定数\(~a~\)を「比例定数」といいます。
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比例の例（１） 底辺が\(~8~\)cm、高さが\(~x~\)㎝の三角形の面積は\(~y~\)cm²である。 \(y=8×x÷2\) よって \(y=4x\)（比例定数は\(~4~\)）
比例の例（２） 時速\(~50~\)kmで\(~x~\)時間走ったときの距離は\(~y~\)kmである。 \(y=50x\)（比例定数は\(~50~\)）
比例の例（３） 元金\(~x~\)円を年利率\(~3~\)％で預金したときの１年後の利息は\(~y~\)円である。 \(y=0.03x\)（比例定数は\(~0.03~\)） |
【反比例】
\(y~\)が\(~x~\)の関数で、\(~y=\displaystyle\frac{a}{x}\)（\(~a~\)は\(~0~\)でない定数）の形で表せるとき、\(y~\)は\(~x~\)に「反比例する」といいます。
また、定数\(~a~\)を「比例定数」といいます。
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反比例の例（１） 面積が\(~20~\)cm²の平行四辺形の底辺が\(~x~\)㎝のとき、高さは\(~y~\)cmである。 \(xy=20\) よって \(y=\displaystyle\frac{20}{x}\)（比例定数は\(~20~\)）
反比例の例（２） \(300~\)mの距離を秒速\(~x~\)mで移動するときにかかる時間は\(~y~\)秒である。 \(y=\displaystyle\frac{300}{x}\)（比例定数は\(~300~\)）
反比例の例（３） \(500~\)リットルの水を\(~x~\)個のコップに同じ量ずつ分けると、１個のコップの水の量は\(~y~\)リットルである。 \(y=\displaystyle\frac{500}{x}\)（比例定数は\(~500~\)） |
【比例・反比例の応用】
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例題１ 次の関数のうち、\(y~\)が\(~x~\)に比例するもの、反比例するものをそれぞれ選び、その比例定数をいいなさい。 （１）\(y=5x\) （２）\(y=3x+2\) （３）\(y=\displaystyle\frac{6}{x}\) （４）\(y=3x^2\) （５）\(xy=10\) （６）\(3y=4x\) |
考え方
\(y=ax\) の形で表せたら比例、\(y=\displaystyle\frac{a}{x}\) の形で表せたら反比例です。
解答
（１）比例。比例定数は\(~5\)
（２）どちらでもない。
（３）反比例。比例定数は\(~6\)
（４）どちらでもない。
（５）\(y=\displaystyle\frac{10}{x}\) 反比例。比例定数は\(~10\)
（６）\(y=\displaystyle\frac{4}{3}x\) 比例。比例定数は\(~\displaystyle\frac{4}{3}\)
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例題２ 次の関数のうち、\(y~\)が\(~x~\)に比例するもの、反比例するものをそれぞれ選び、その比例定数をいいなさい。 （１）\(-y=7x\) （２）\(\displaystyle\frac{1}{x}=\frac{3}{y}\) （３）\(x+y=0\) （４）\(x+y=7\) （５）\(\displaystyle\frac{3}{xy}=1\) （６）\(\displaystyle\frac{y}{x}=6\) |
解答
（１）\(y=-7x\) 比例。比例定数は\(~-7\)
（２）\(y=3x\) 比例。比例定数は\(~3\)
（３）\(y=-x\) 比例。比例定数は\(~-1\)
（４）\(y=-x+7\) どちらでもない。
（５）\(y=\displaystyle\frac{3}{x}\) 反比例。比例定数は\(~3\)
（６）\(y=6x\) 比例。比例定数は\(~6\)
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例題３ 次の\(~x~\)と\(~y~\)の関係のうち、\(y~\)が\(~x~\)に比例するもの、反比例するものをそれぞれ選び、その比例定数をいいなさい。 （１）一辺の長さが\(~x~\)cmの正方形の周の長さが\(~y~\)cmである。 （２）縦\(~x~\)cm、横\(~2x~\)cmの長方形の周の長さが\(~y~\)cmである。 （３）縦\(~x~\)cm、横\(~y~\)cmの長方形の周の長さが\(~40~\)cmである。 （４）縦\(~x~\)cm、横\(~y~\)cmの長方形の面積が\(~40~\)cm²である。 |
考え方
\(x~\)と\(~y~\)の関係を式に表します。
解答
（１）\(y=4x\) 比例。比例定数は\(~4\)
（２）\(y=2(x+2x)\)
\(y=6x\) 比例。比例定数は\(~6\)
（３）\(2(x+y)=40\)
\(y=-x+20\) どちらでもない。
（４）\(xy=40\)
\(y={40}{x}\) 反比例。比例定数は\(~40\)
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