１次関数

【１次関数】

\(y~\)が\(~x~\)の関数で、\(y~\)が\(~x~\)の１次式、\(y=ax+b\)（\(~a~\)、\(b~\)は定数、\(a≠0~\)）の形で表せるとき、\(y~\)は\(~x~\)の「１次関数」であるといいます。

\(b=0~\)のときは\(~y=ax~\)になりますが、これも１次関数です。

 

１次関数の例

\(y=3x+5\)

この１次関数では、\(x~\)と\(~y~\)の関係は表のようになります。

この表から、\(x~\)が\(~1~\)増加するごとに、\(y~\)は\(~3~\)ずつ増加していることが分かります。

また、例えば\(~x~\)が\(~0~\)から\(~4~\)まで増加したとき、\(y~\)は\(~5~\)から\(~17~\)まで増加しています。

\(x~\)の増加量は\(~4~\)、\(~y~\)の増加量は\(~12~\)なので、\(x~\)の増加量に対する\(~y~\)の増加量の割合は、\(\displaystyle\frac{12}{4}=3~\)です。

この割合を１次関数の「変化の割合」といいます。この変化の割合が１次関数の式の定数\(~a~\)です。

１次関数　\(y=ax+b\)（\(~a~\)、\(b~\)は定数、\(a≠0~\)） \(変化の割合=\displaystyle\frac{yの増加量~~~~~}{xの増加量~~~~~}=a（一定）\)

 

例題 次の条件を満たす１次関数を求めなさい。 （１）変化の割合が\(~\displaystyle\frac{3}{2}~\)で、\(x=4~\)のとき\(~y=1~\)である１次関数 （２）\(x=3~\)のとき\(~y=-2~\)で、\(x~\)が\(~4~\)増加すると\(~y~\)が\(~8~\)減少する１次関数 （３）\(x=4~\)のとき\(~y=11~\)、\(x=-3~\)のとき\(~y=-17~\)である１次関数

考え方

求める式を\(~y=ax+b~\)とおき、条件から\(~a~\)、\(b~\)を求めます。

解法

（１）

変化の割合が\(~\displaystyle\frac{3}{2}~\)なので、\(y=\displaystyle\frac{3}{2}x+b~\)とおける。

この式に、\(x=4~\)、\(~y=1~\)を代入すると、

\(1=6+b\)　よって、\(b=-5\)

［答］\(y=\displaystyle\frac{3}{2}x-5~\)

 

（２）

変化の割合は\(~\displaystyle\frac{-8}{4}=-2\)

よって、\(y=-2x+b~\)とおける。

この式に、\(x=3~\)、\(~y=-2~\)を代入すると、

\(-2=-6+b\)　よって、\(b=4\)

［答］\(y=-2x+4\)

 

（３）

\(y=ax+b~\)に\(~x=4~\)、\(y=11~\)を代入する。

\(11=4a+b\)　①

\(y=ax+b~\)に\(~x=-3~\)、\(y=-17~\)を代入する。

\(-17=-3a+b\)　②

①、②を連立方程式として\(~a~\)、\(b~\)を求める。

①－②

\(28=7a\)　よって、\(a=4\)

これを①に代入して

\(11=16+b\)　よって、\(b=-5\)

［答］\(y=4x-5\)

 

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