数と式

四則の計算

【四則とは】

加法、減法、乗法、除法をまとめて「四則(しそく)」といいます。また、「加減乗除(かげんじょうじょ)」ということもあります。

 

加法(かほう)=たし算

(たし算の答えを「和(わ)」といいます。)

減法(げんぽう)=ひき算

(ひき算の答えを「差(さ)」といいます。)

乗法(じょうほう)=かけ算

(かけ算の答えを「積(せき)」といいます。)

除法(じょほう)=わり算

(わり算の答えを「商(しょう)」といいます。)

 

【乗法の計算】

≪乗法の計算≫

正の数と負の数の積は次のようになります。

正の数)×(正の数)=(正の数

 例 \(5×3=15\)

負の数)×(負の数)=(正の数

 例 \((−5)×(−3)=15\)

正の数)×(負の数)=(負の数

 例 \(5×(−3)=−15\)

負の数)×(正の数)=(負の数

 例 \((−5)×3=−15\)

2つの数の正・負が同じとき、その積は正の数

2つの数の正・負が異なるとき、その積は負の数

 

3つ以上の数の積は次のようになります。

例1
\(2×(−3)×5=−30\)

例2
\(2×(−5)×(−4)=40\)

例3
\((−5)×2×(−3)×(−4)\\~=−120\)

負の数が偶数個のとき、その積は正の数

負の数が奇数個のとき、その積は負の数

 

≪交換法則・結合法則≫

乗法では、交換法則と結合法則が成り立つので、どんな順にかけても積は同じです。

乗法の交換法則 \(a×b=b×a\)

乗法の結合法則 \((a×b)×c=a×(b×c)\)

 

例1
\(2×3×5=30\\5×2×3=30\)

例2
\(25×7×30×4\\~=(25×4)×(7×30)\\~=100×210\\~=21000\)

 

【累乗 るいじょう】

≪累乗とは≫

同じ数を何個か、かけ合わせたものを「累乗(るいじょう)」といいます。そのかけ合わせた個数を、もとの数の右肩に小さく書きます。この小さく書いた数のことを「指数(しすう)」といいます。

指数

例1
\(3×3=3^2\)

例2
\(5×5×5=5^3~\)

例3
\(2×2×2×2×2=2^5\)

\(3^2~,~5^3~,~2^5~\)は、それぞれ「3の2乗」「5の3乗」「2の5乗」と読みます。

「2乗」を「平方(へいほう)」、「3乗」を「立方(りっぽう)」ということもあります。

 

≪負の数の累乗≫

負の数の累乗は、次のようになります。

例1
\((−2)^2=(−2)×(−2)=4\)

例2
\((−2)^3=(−2)×(−2)×(−2)\\~=−8\)

例3
\((−2)^4\\~=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)\\~=16\)

指数が偶数のとき、累乗は正の数

指数が奇数のとき、累乗は負の数

 

\(−3^4~\)と\(~(−3)^4~\)は異なるものであることに注意しましょう。

\(−3^4=−(3×3×3×3)=−81\)
・・・ \(3^4~\)に「−」がついたもの

\((−3)^4=(−3)×(−3)×(−3)×(−3)=81\)
・・・ \(−3~\)を4乗したもの

 

【除法の計算】

≪除法の計算≫

正の数と負の数の商は次のようになります。

正の数)÷(正の数)=(正の数

 例 \(12÷3=4\)

負の数)÷(負の数)=(正の数

 例 \((−12)÷(−3)=4\)

正の数)÷(負の数)=(負の数

 例 \(12÷(−3)=−4\)

負の数)÷(正の数)=(負の数

 例 \((−12)÷3=−4\)

2つの数の正・負が同じとき、その商は正の数

2つの数の正・負が異なるとき、その商は負の数

 

除法では、交換法則が成り立たないので、順序を変えることはできません


\(20÷5=4\\5÷20=0.25\)

 

≪0でわること≫

0をある数でわると、商は0です。

\(0÷7=0\)

けれども、ある数を0でわることはできません

\(7÷0=□~~~→~~~□×0=7\)
□がどんな数でも成り立ちません
(答がない。)

\(0÷0=□~~~→~~~□×0=0\)
□がどんな数でも成り立ってしまいます
(答が定まらない。)

このように、商が定まらないので、0でわる除法はできません。

わることはできますが、0わることはできないのです。

 

≪逆数≫

2つの数があり、その積が1になるとき、一方の数を他方の数の「逆数(ぎゃくすう)」といいます。

\(3×\displaystyle\frac{1}{3}=1\)
→ \(~3~\)の逆数は\(~\displaystyle\frac{1}{3}~\)、\(~\displaystyle\frac{1}{3}~\)の逆数は\(~3\)

\(\displaystyle\frac{2}{7}×\displaystyle\frac{7}{2}=1\)

→ \(\displaystyle\frac{2}{7}~\)の逆数は\(~\displaystyle\frac{7}{2}~\)、\(~\displaystyle\frac{7}{2}~\)の逆数は\(~\displaystyle\frac{2}{7}\)

逆数は、もとの数の分母と分子を入れかえたものです。

 

≪除法と逆数≫

\(a÷b=\displaystyle\frac{a}{b}~,~a×\displaystyle\frac{1}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}\)

よって、\(a÷b=a×\displaystyle\frac{1}{b}~\)となります。

つまり、\(~a~\)を\(~b~\)でわることは、\(~a~\)に\(~b~\)の逆数をかけることと同じことなのです。

例1
\(24÷(−6)=24×(−\displaystyle\frac{1}{6})=−4\)

例2
\(−10÷\displaystyle\frac{2}{5}=−10×\displaystyle\frac{5}{2}=−25\)

 

【四則の混じった計算】

≪乗除の混じった計算≫

乗除(かけ算とわり算)の混じった計算は、次のようにします。

除法は割る数の逆数をかけて、乗法だけの式にする。(注)

式の中に負の数が偶数個あれば、答は正の数になる。

式の中に負の数が奇数個あれば、答は負の数になる。

 

例1
\(\displaystyle\frac{4}{5}÷(−8)×(−10)\\~=\displaystyle\frac{4}{5}×(−\displaystyle\frac{1}{8})×(−10)=1\)

例2
\(−10÷(−\displaystyle\frac{1}{3})÷4×(−\displaystyle\frac{4}{5})\\~=−10×(−3)×\displaystyle\frac{1}{4}×(−\displaystyle\frac{4}{5})=−6\)

(注)
わり算のまま計算したほうが簡単な場合はそのまま計算します。

\(~~~32÷(−8)×(−3)=12\)

 

≪四則の混じった計算≫

四則の混じった計算は、次のようにします。

加減乗除が混じっている式は、乗除(かけ算とわり算)を先に計算する。

かっこがある式は、かっこの中を先に計算する。

 

例1
\(5×3+(12−4)÷2\\~=15+8÷2\\~=15+4\\~=19\)

例2
\({(−2)^3−(4+3^2)}÷3\\~={−8−(4+9)}÷3\\~=(−8−13)÷3\\~=−21÷3\\~=−7\)

 

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