数と式

式の計算

【計算の法則】

文字式の計算では、次の法則が成り立ちます。

交換法則

\(~a+b=b+a\)(加法の交換法則)

\(~ab=ba\)(乗法の交換法則)

結合法則

\(~(a+b)+c=a+(b+c)\)(加法の結合法則)

\(~(ab)c=a(bc)\)(乗法の結合法則)

分配法則

\(~(a+b)c=ac+bc\)

\(~a(b+c)=ab+ac\)

 

 

【加法・減法】

≪同類項≫

単項式で、文字の部分が同じ項を「同類項(どうるいこう)」といいます。

次の単項式の中から、同類項を選び出してみましょう。
\(5xy~,~−2a^2~,~a~,~8a^2~,~3a~,\\~−ay~,~3xy~,~a^2~,~15xy~,~5ay\)

同類項

\(xy~\)の項:\(5xy~,~-3xy~,~15xy\)

\(a^2~\)の項:\(−2a^2~,~8a^2~,~a^2\)

\(a~\)の項:\(a~,~−3a\)

\(ay~\)の項:\(−ay~,~5ay\)

注意 \(a^2~\)と\(~a~\)とは、同類項ではありません。

 

同類項は分配法則を使ってひとつにまとめることができます。

例1

\(5a+3a=(5+3)a=8a\)

例2

\(12x^2−9x^2=(12−9)x^2=3x^2\)

例3

\(7ab−6ab+5ab=(7−6+5)ab=6ab\)

 

≪多項式の加法と減法≫

多項式の加法、減法は、それぞれの多項式にかっこを付けて「+」または「-」でつなぎ、かっこをはずして同類項をまとめます。

かっこの前に「-」があるときは、かっこをはずすと各項の符号が変わるので注意しましょう。

例1

\((5a+3b)+(4a−6b)\)

\(~=5a+3b+4a−6b\)

\(~=(5+4)a+(3−6)b\)

\(~=9a−3b\)

例2

\((9x^2+2x−3)−(3x^2+4)−(4x^2−3x)\)

\(~=9x^2+2x−3−3x^2−4−4x^2+3x\)

\(~=(9−3−4)x^2+(2+3)x+(−3−4)\)

\(~=2x^2+5x−7\)

 

【単項式の乗法・除法】

≪指数法則≫

累乗の計算では「指数法則」が成り立ちます。

指数法則

\(~a^m×a^n=a^{m+n}\)

\(~a^m÷a^n=a^{m−n}~(m>n)\)

\(~(a^m)^n=a^{mn}\)

 

例1

\(a^3×a^4\)

\(~=(a×a×a)×(a×a×a×a)\)

\(~=a×a×a×a×a×a×a\)

\(~=a^7\)

例2

\(a^6÷a^4\)

\(~=\displaystyle\frac{a×a×a×a×a×a}{a×a×a×a}\)

\(~=a×a\)

\(~=a^2\)

例3

\((a^3)^2\)

\(~=a^3×a^3\)

\(~=(a×a×a)×(a×a×a)\)

\(~=a^6\)

 

≪単項式の乗法≫

(単項式)×(単項式)の計算では、係数とそれぞれの文字ごとに積を求めます。同じ文字の積は指数法則を使って累乗にします。

例1

\(3x^2y^3×(−4xy^2)\)

\(~=3×(−4)×x^2×x×y^3×y^2\)

\(~=−12×x^3×y^5\)

\(~=−12x^3y^5\)

例2

\((−3a^2b^3)^2\)

\(~=(−3a^2b^3)×(−3a^2b^3)\)

\(~=(−3)×(−3)×a^2×a^2×b^3×b^3\)

\(~=9×a^4×b^6\)

\(~=9a^4b^6\)

 

≪単項式の除法≫

(単項式)÷(単項式)の計算では、式を分数のかたちにして、数と同じように約分をします。

例1

\(4a^2b^3÷ab\)

\(~=\displaystyle\frac{4a^2b^3}{ab}\)

\(~=4ab^2\)

例2

\(\displaystyle(−12x^3y^2z)÷\frac{3}{2}xy^2z^3\)

\(~=\displaystyle(−12x^3y^2z)÷\frac{3xy^2z^3}{2}\)

\(~=\displaystyle(−12x^3y^2z)×\frac{2}{3xy^2z^3}\)

\(~=\displaystyle\frac{−12x^3y^2z×2}{3xy^2z^3}\)

\(~=\displaystyle\frac{−8x^2}{z^2}\)

 

≪単項式の乗法と除法≫

乗法と除法が混じった単項式の計算は、分数のかたちにして、最後に約分します。

例1

\(a÷(b×c)\)

\(~=\displaystyle\frac{a}{bc}\)

例2

\(a÷(b÷c)\)

\(~\displaystyle=a÷\frac{b}{c}\)

\(~\displaystyle=a×\frac{c}{b}\)

\(~\displaystyle=\frac{ac}{b}\)

例3

\(\displaystyle\frac{2}{3}xy×(−6x^2)÷(−y^2)\)

\(~=\displaystyle\frac{2xy×(−6x^2)}{3×(−y^2)}\)

\(~=\displaystyle\frac{4x^3}{y}\)

例4

\(24x^3y^2÷(−8x^2y)×3xy^2\)

\(~=\displaystyle\frac{24x^3y^2×3xy^2}{−8x^2y}\)

\(~=−9x^2y^3\)

 

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