式の計算
【計算の法則】
文字式の計算では、次の法則が成り立ちます。
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交換法則 \(~a+b=b+a\)（加法の交換法則） \(~ab=ba\)（乗法の交換法則） 結合法則 \(~(a+b)+c=a+(b+c)\)（加法の結合法則） \(~(ab)c=a(bc)\)（乗法の結合法則） 分配法則 \(~(a+b)c=ac+bc\) \(~a(b+c)=ab+ac\) |
【加法・減法】
≪同類項≫
単項式で、文字の部分が同じ項を「同類項（どうるいこう）」といいます。
次の単項式の中から、同類項を選び出してみましょう。
\(5xy~,~−2a^2~,~a~,~8a^2~,~3a~,\\~−ay~,~3xy~,~a^2~,~15xy~,~5ay\)
同類項
\(xy~\)の項：\(5xy~,~-3xy~,~15xy\)
\(a^2~\)の項：\(−2a^2~,~8a^2~,~a^2\)
\(a~\)の項：\(a~,~−3a\)
\(ay~\)の項：\(−ay~,~5ay\)
注意 \(a^2~\)と\(~a~\)とは、同類項ではありません。
同類項は分配法則を使ってひとつにまとめることができます。
例１
\(5a+3a=(5+3)a=8a\)
例２
\(12x^2−9x^2=(12−9)x^2=3x^2\)
例３
\(7ab−6ab+5ab=(7−6+5)ab=6ab\)
≪多項式の加法と減法≫
多項式の加法、減法は、それぞれの多項式にかっこを付けて「+」または「－」でつなぎ、かっこをはずして同類項をまとめます。
かっこの前に「－」があるときは、かっこをはずすと各項の符号が変わるので注意しましょう。
例１
\((5a+3b)+(4a−6b)\)
\(~=5a+3b+4a−6b\)
\(~=(5+4)a+(3−6)b\)
\(~=9a−3b\)
例２
\((9x^2+2x−3)−(3x^2+4)−(4x^2−3x)\)
\(~=9x^2+2x−3−3x^2−4−4x^2+3x\)
\(~=(9−3−4)x^2+(2+3)x+(−3−4)\)
\(~=2x^2+5x−7\)
【単項式の乗法・除法】
≪指数法則≫
累乗の計算では「指数法則」が成り立ちます。
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指数法則 \(~a^m×a^n=a^{m+n}\) \(~a^m÷a^n=a^{m−n}~(m>n)\) \(~(a^m)^n=a^{mn}\) |
例１
\(a^3×a^4\)
\(~=(a×a×a)×(a×a×a×a)\)
\(~=a×a×a×a×a×a×a\)
\(~=a^7\)
例２
\(a^6÷a^4\)
\(~=\displaystyle\frac{a×a×a×a×a×a}{a×a×a×a}\)
\(~=a×a\)
\(~=a^2\)
例３
\((a^3)^2\)
\(~=a^3×a^3\)
\(~=(a×a×a)×(a×a×a)\)
\(~=a^6\)
≪単項式の乗法≫
（単項式）×（単項式）の計算では、係数とそれぞれの文字ごとに積を求めます。同じ文字の積は指数法則を使って累乗にします。
例１
\(3x^2y^3×(−4xy^2)\)
\(~=3×(−4)×x^2×x×y^3×y^2\)
\(~=−12×x^3×y^5\)
\(~=−12x^3y^5\)
例２
\((−3a^2b^3)^2\)
\(~=(−3a^2b^3)×(−3a^2b^3)\)
\(~=(−3)×(−3)×a^2×a^2×b^3×b^3\)
\(~=9×a^4×b^6\)
\(~=9a^4b^6\)
≪単項式の除法≫
（単項式）÷（単項式）の計算では、式を分数のかたちにして、数と同じように約分をします。
例１
\(4a^2b^3÷ab\)
\(~=\displaystyle\frac{4a^2b^3}{ab}\)
\(~=4ab^2\)
例２
\(\displaystyle(−12x^3y^2z)÷\frac{3}{2}xy^2z^3\)
\(~=\displaystyle(−12x^3y^2z)÷\frac{3xy^2z^3}{2}\)
\(~=\displaystyle(−12x^3y^2z)×\frac{2}{3xy^2z^3}\)
\(~=\displaystyle\frac{−12x^3y^2z×2}{3xy^2z^3}\)
\(~=\displaystyle\frac{−8x^2}{z^2}\)
≪単項式の乗法と除法≫
乗法と除法が混じった単項式の計算は、分数のかたちにして、最後に約分します。
例１
\(a÷(b×c)\)
\(~=\displaystyle\frac{a}{bc}\)
例２
\(a÷(b÷c)\)
\(~\displaystyle=a÷\frac{b}{c}\)
\(~\displaystyle=a×\frac{c}{b}\)
\(~\displaystyle=\frac{ac}{b}\)
例３
\(\displaystyle\frac{2}{3}xy×(−6x^2)÷(−y^2)\)
\(~=\displaystyle\frac{2xy×(−6x^2)}{3×(−y^2)}\)
\(~=\displaystyle\frac{4x^3}{y}\)
例４
\(24x^3y^2÷(−8x^2y)×3xy^2\)
\(~=\displaystyle\frac{24x^3y^2×3xy^2}{−8x^2y}\)
\(~=−9x^2y^3\)
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