数と式

因数分解

【因数分解】

1つの多項式をいくつかの単項式や多項式の積で表すことを「因数分解」といいます。このときのひとつひとつの単項式や多項式が「因数」です。

例1

\(ax+ay=a(x+y)\)

\(~~~~~a~,~x+y~\)が因数

例2

\(x^2−9=(x+3)(x−3)\)

\(~~~~~x+3~,~x−3~\)が因数

 

【因数分解の公式】

≪共通因数をくくり出す≫

\(ma+mb+mc=m(a+b+c)\)

 

例1

\(2a^2b+6ab^2+4ab\)

\(~=2ab(a+3b+2)\)

\(~~~~~2ab~\)が共通因数

例2

\((a−b)x+(b−a)y\)

\(~=(a−b)x-(a-b)y\)

\(~=(a−b)(x−y)\)

\(~~~~~a-b~\)が共通因数

 

≪乗法公式を逆向きに使う≫

公式1

\(~x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

公式2

\(~a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

公式3

\(~a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\)

公式4

\(a^2−b^2=(a+b)(a−b)\)

(公式2、3のかたちの式を「完全平方式」といいます。)

 

① \(x^2+px+q\)

\(x^2+4x+3~\)のように、\(x~\)の2次の項、1次の項、定数項でできている式は、公式1~3を使って因数分解をします。

\(x^2+4x+3~\)では、和が\(~4~\)、積が\(~3~\)になる2つの数を見つけます。

\(1+3=4~,~1×3=3~\)なので、2つの数は\(~1~\)と\(~3~\)です。

公式1で、\(a=1~,~b=3~\)とすればよいのです。

\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)

 

例1

\(x^2+5x+6\)

\(~~~~~\)和が\(~5~\)、積が\(~6\)  → \(2~\)と\(~3\)

\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)

 

例2

\(x^2−x−6\)

\(~~~~~\)和が\(~-1~\)、積が\(~-6\)  → \(2~\)と\(~-3\)

\(x^2−x−6=(x+2)(x−3)\)

 

例3

\(x^2−7x+10\)

\(~~~~~\)和が\(~-7~\)、積が\(~10\)  → \(-2~\)と\(~-5\)

\(x^2−7x+10=(x−2)(x−5)\)

 

例4

\(x^2+8x+16\)

\(~~~~~\)和が\(~8~\)、積が\(~16\)  → \(4~\)と\(~4\)

\(x^2+8x+16=(x+4)^2\)  (完全平方式)

 

例5

\(x^2−12x+36\)

\(~~~~~\)和が\(~-12~\)、積が\(~36\)  → \(-6~\)と\(~-6\)

\(x^2−12x+36=(x−6)^2\) (完全平方式)

 

② 平方の差

平方の差の式は、公式4を使って因数分解します。

 

例1

\(4x^2−25\)

\(~=(2x)^2−5^2\)

\(~=(2x+5)(2x−5)\)

 

例2

\(81a^2−100b^2\)

\(~=(9a)^2−(10b)^2\)

\(~=(9a+10b)(9a−10b)\)

 

③ 完全平方式

2乗のかたちになっている数や式があれば、公式2、3が使える場合があります。

 

例1

\(9x^2+30x+25\)

\(~~~~~9x^2 =(3x)^2\\~~~~~30x=2×3x×5\\~~~~~25=5^2\)

\(9x^2+30x+25=(3x+5)^2\)

 

例2

\(4a^2−28ab+49b^2\)

\(~~~~~4a^2=(2a)^2\\~~~~~28ab=2×2a×7b\\~~~~~49b^2=(7b)^2\)

\(4a^2−28ab+49b^2=(2a−7b)^2\)

 

【いろいろな因数分解】

公式が直接使えない場合でも、次のようなくふうをすることで公式が使える場合があります。

○共通因数をくくり出す。

○同じかたちの式をひとつの文字とみなす。

○次数の低い文字で整理する。

○式の特徴をとらえる。

 

例1

\(2x^2y−6xy−8y\)

\(~~~~~2y~\)でくくる。

\(~=2y(x^2−3x−4)\)

\(~~~~~\)さらに因数分解できる。

\(~=2y(x+1)(x−4)\)

 

例2

\(−3ab^2+12a\)

\(~~~~~−3a~\)でくくる。

\(~=−3a(b^2−4)\)

\(~~~~~\)さらに因数分解できる。

\(~=−3a(b+2)(b−2)\)

 

例3

\(x^4−5x^2+4\)

\(~~~~~x^2~\)をひとつの文字とみなす。

\(~=(x^2)^2−5x^2+4\)

\(~=(x^2−1)(x^2−4)\)

\(~~~~~\)さらに因数分解できる。

\(~=(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)\)

 

例4

\((a−b)^3+9(b−a)\)

\(~=(a−b)^3−9(a−b)\)

\(~~~~~a−b~\)でくくる。

\(~=(a−b)\{(a−b)^2−9\}\)

\(~~~~~\){     }  の中は平方の差

\(~=(a−b)\{(a−b)+3\}\{(a−b)−3\}\)

\(~=(a−b)(a−b+3)(a−b−3)\)

 

例5

\(a^2b+a^2c−b^2c+ab^2\)

\(~~~~~c~\)で整理する。

\(~=a^2b+ab^2+a^2c−b^2c\)

\(~~~~~\)1項と2項は\(~ab~\)、3項と4項は\(~c~\)でくくる。

\(~=ab(a+b)+(a^2−b^2)c\)

\(~~~~~a^2−b^2~\)は、平方の差

\(~=ab(a+b)+(a+b)(a−b)c\)

\(~~~~~a+b~\)でくくる。

\(~=(a+b)\{ab+(a−b)c\}\)

\(~=(a+b)(ab+ac−bc)\)

 

例6

\(a^2−b^2−c^2+2bc\)

\(~~~~~a~\)で整理する。

\(~=a^2−(b^2−2bc+c^2)\)

\(~~~~~\)(     ) の中は完全平方式

\(~=a^2−(b−c)^2\)

\(~~~~~\)平方の差

\(~=\{a+(b−c)\}\{a−(b−c)\}\)

\(~=(a+b−c)(a−b+c)\)

 

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